65656

  • 17 дек. 2012 г.
  • 11794 Слова
Линейная алгебра

Основные определения

Определение. Матрицей размера m(n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, аj- номер столбца.
А = [pic]

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являютсясоответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij ( bij
С = А + В = В + А.


Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
[pic]

( (А+В) =(А ( (В
А(((() = (А ( (А


Пример. Даны матрицы А = [pic]; B = [pic], найти 2А + В.
2А = [pic],2А + В = [pic].


Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
A(B = C;
[pic].
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ( ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратныематрицы одного и того же порядка.

А(Е = Е(А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A(O = O; O(A = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. еслиимеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа ( верно соотношение:
((AB) = ((A)B = A((B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, чтодля любых квадратных матриц det (AB) = detA(detB.
Пример. Найти произведение матриц А = [pic] и В = [pic].
АВ = [pic]([pic] = [pic].
ВА = [pic]([pic] = 2(1 + 4(4 + 1(3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=[pic], В = [pic]
АВ = [pic]([pic]= [pic]= [pic].

Определители (детерминанты)
Определение. Определителем квадратной матрицы А=[pic] называется число, которое может бытьвычислено по элементам матрицы по формуле:
det A = [pic], где
М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, такжесправедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det A = [pic]
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = [pic], i = 1,2,…,n.
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется...
tracking img