Asd sad asdasd asdasdasfasf

  • 02 мая 2012 г.
  • 6970 Слова
ГЛАВА 6

Ряды Фурье.

§ 6.1.

Определение ряда Фурье. Постановка основных задач.
a0 + an cos nx + bn sin nx 2 n=1


Определение 1. Ряд вида

(1.1)

называется тригонометрическим рядом. Его частичные суммы являются линейными комбинациями функций входящих в систему cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . Определение 2. Множество функций (1.2) называетсятригонометрической системой. Лемма 1. Тригонометрическая система (1.2) обладает следующими свойствами: 1) интеграл по отрезку [−π; π] от произведения двух различных функций, входящих в нее, равен нулю (свойство ортогональности системы (1.2)), т.е.
π π

(1.2)

cos nx cos mxdx = 0,
−π π −π −π

sin nx sin mxdx = 0, n, m = 0, 1, 2, . . .

n = m, (1.3)

cos nx sin mxdx = 0, 2)

π

π

cos nxdx =
−π −π2

sin2 nxdx = π,

n = 1, 2, . . .

(1.4)

Доказательство. При любых целых неотрицательных m, n таких, что m = n имеем
π

−π

1 sin nx sin mxdx = 2

π

cos(n − m)x − cos(n + m)x dx =
−π

sin(n − m)x 2(n − m)

π


−π

sin(n + m)x 2(n + m)

π

= 0.
−π

Аналогично доказываются и два других равенства (1.3). Докажем (1.4).
π

−π π

1 cos nxdx = 2
2

π

1 +cos 2nx dx = π,
−π π

−π

1 sin nxdx = 2
2

1 − cos 2nx dx = π.
−π

Теорема 1. Пусть f (x) =

a0 + an cos nx + bn sin nx 2 n=1
π



(1.5)

и ряд, стоящий в правой части этого равенства сходится равномерно на отрезке [−π; π]. Тогда 1 a0 = π
π

−π

1 f (x)dx, an = π

π

−π

1 f (x) cos nxdx, bn = π 1

f (x) sin nxdx, n = 1, 2, . . .
−π

(1.6)

2

Глава 6.Ряды Фурье.

Доказательство. Поскольку ряд, стоящий в правой части равенства (1.5), сходится равномерно на отрезке [−π; π], а все его члены являются непрерывными на этом отрезке функциями, то и его сумма f (x) непрерывна на отрезке [−π; π], а сам ряд можно почленно интегрировать от −π до π, т.е.
π π

f (x)dx =
−π −π

a0 a0 + an cos nx + bn sin nx dx = 2 2 n=1



π



π

π

dx +
−πn=1

an
−π

cos nxdx + bn
−π

sin nxdx = πa0 .

Откуда следует первая из формул (1.6). Если ряд (1.5) почленно умножить на cos kx и sin kx, k = 1, 2, . . . то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке [−π; π]. Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство ортогональности (1.3) тригонометрической системы и равенство (1.4), будем иметь
π π

f (x) cos kxdx =
−π ∞ π−π

a0 a0 + an cos nx + bn sin nx cos kxdx = 2 2 n=1
π π



π

cos kxdx+
−π

+
n=1 π

an
−π

cos nx cos kxdx + bn
−π π

sin nx cos kxdx = ak
−π

cos2 kxdx = πak ,

Аналогично получим
−π

f (x) sin kxdx = ak
−π

sin2 kxdx = πbk .

Из полученных соотношений непосредственно вытекают формулы (1.6).
b b

Определение 3. Если сходится интеграл
a

|f (x)|dx, тоинтеграл
a

f (x)dx называется абсолютно сходящимся, а функ-

ция f (x) абсолютно интегрируемой на рассматриваемом промежутке.
b b

Заметим, что из сходимости интеграла
a

|f (x)|dx следует сходимость и интеграла
a

f (x)dx.

Теорема 1 была доказана на случай равномерной сходимости ряда стоящего в правой части равенства (1.5). Однако она имеет место и в более общем случае, а именнокогда тригонометрический ряд (1.1) просто сходится, но сходится он к абсолютно интегрируемой функции на отрезке [−π; π]. Определение 4. Тригонометрический ряд коэффициенты которого выражаются по формулам (1.6) называется рядом Фурье, или более точно тригонометрическим рядом Фурье функции f (x), где при этом считается, что функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке [−π; π]. В этом случае пишут f (x) ∼a0 + an cos nx + bn sin nx. 2 n=1


Частичные суммы порядка n этого ряда будем обозначать через Sn (x; f ) или Sn (x) и называть суммами Фурье порядка n функции f . Подчеркнем, что знак ∼ обозначает не асимптотическое равенство, а просто соответствие: функции f (x) сопоставляется ее ряд Фурье. Итак, если у нас есть абсолютно интегрируемая на отрезке [−π; π] функция f...
tracking img