Asedxc

  • 17 апр. 2011 г.
  • 473 Слова
Задание № 2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА В различных приложениях дифференциальное уравнение dq/dt = F(q) моделирует изменение какого-нибудь параметра некоторой физической системы в зависимости отвремени. Мы говорим, что состояние системы, определяется значением величины q. Например, уравнение dp/dt — ар; р,а>0, моделирует рост популяции р некоторого изолированного вида. В рамках этой модели состояниевида в момент времени / задается количеством индивидуумов p(t), существующих в момент /. Другой пример — это закон Ньютона для остывания тел. Температура Т тела, остывающего в среде с температурой т,подчиняется уравнению dT/dt = -а(Т- т), а>0. Здесь считается, что состояние тела определяется его температурой. Мы можем изобразить состояние q f t j нашей модели в любой момент времени t0 точкой нафазовой прямой уравнения dq/dt = F(q). С увеличением времени состояние системы изменяется, и изображающая это состояние точка движется по фазовой прямой со скоростью dq/dt = F(q). Таким образом, динамикафизической системы представляется движением фазовой точки по фазовой прямой. Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики.Такая качественная информация может оказаться полезной при построении моделей. Например, рассмотрим (1.16) — модель роста изолированной популяции. Заметим, что dp/dt > 0 для всех р > 0, и фазовый портрет нарис. 1 показывает, что популяция растет неограниченно. у=0 Рис. 1 Фазовый портрет для уравнения: dp/dt = ар. Нас интересует только поведение неотрицательных популяций (р>0). Это свойство выглядитнеправдоподобно: та среда, в которой живет этот вид, имеет свои ограничения и не может обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию. Предположим, что окружающая среда может обеспечивать существованиепопуляции /?е- Как надо изменить уравнение (1.16) с учетом этого обстоятельства? Очевидно, неограниченный рост р должен быть чем-то остановлен. Одна из возможностей —...
tracking img