Bcnjhbz

  • 16 дек. 2012 г.
  • 1757 Слова
Индивидуальные задания
«Строительство» бакалавры (1-ый семестр)

МЕХАНИКА

3. Работа. Энергия. Законы сохранения в механике.

; – работа силы;
; мощность;
– коэффициент полезного действия;
; – работа при вращательном движении;
– кинетическая энергия поступательного движения;
– кинетическая энергия вращательного движения.
– потенциальная энергия тела, поднятого над Землей нанебольшую высоту (h<<RЗемли);
– потенциальная энергия упруго деформированного тела;
– связь потенциальной энергии и консервативной силы.
Если , то – закон сохранения импульса;
Если , то – закон сохранения момента импульса;
Если и отсутствуют диссипативные силы, то
– закон сохранения механической энергии.

Примеры решения задач
Задача 1
С поверхности Земли вертикальновверх пущена ракета со скоростью
5 км/с. Определить высоту, на которую поднимется ракета?
Дано:
=5000 м/с
RЗемли=6.4.106 м

Найти:
h=?

Дано:
=5000 м/с
RЗемли=6.4.106 м

Найти:
h=?

Решение
На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна:
,
где m – масса ракеты, МЗ – масса Земли, – расстояние до центра Земли. Элементарная работа противсилы тяжести при перемещении ракеты вверх на равна: ; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием:
.
По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: . Тогда получим уравнение:
.
После сокращения на m и подстановки получим выражение для высотыподъема ракеты:
.
Здесь учтено, что - ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Ответ: h=1.59 км.

Задача 2. Шар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся c неподвижным шаром массой . Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение: Доля энергии, переданной первым шаромвторому, выразится отношением:
(1)
где – кинетическая энергия первого шара до удара, , - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из соотношения (1), для определения надо найти . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясьэтими законами, найдем . По закону сохранения импульса в проекции на ось ОХ, совпадающую с направлением движения, получим:
. (2)
По закону сохранения механической энергии (потенциальная энергия не изменяется)
, (3)
решая совместно уравнения (2) и (3), найдем
. (4)
Подставим выражение (4) в (1) и, сократив на ,получим
.
Задача 3.
Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
Дано:
m=1 кг
=0.1 м/с
=0.08 м/с

Найти:
Q=?
Дано:
m=1 кг
=0.1 м/с
=0.08 м/с

Найти:
Q=?
Решение
Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся приударе теплота равна изменению кинетической энергии шара (потенциальная энергия не изменяется):
Q=WК–WК0. (1)
Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двухдвижений:
. (2)
Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:
=ωR, (3)
где R – радиус шара, JС – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:
....
tracking img