Cgbg

  • 16 окт. 2012 г.
  • 11162 Слова
Содержание КВМ Часть 3.





















К У Р С


В Ы С Ш Е Й

М А Т Е М А Т И К И







ЧАСТЬ 3

















2000


Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, скакой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
[pic]
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скоростиV, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
[pic]

Тогда получаем: [pic] - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).


Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Еслидифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.


Пример.[pic] - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается [pic].

[pic] - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается [pic]

[pic] - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ((x, C), которая приподстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функцияу = ((х, С0).


Определение. Решение вида у = ((х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = ((х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании иединственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную [pic], то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение [pic] уравнения [pic], определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение ((х0) = у0, т.е. существуетединственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.[pic]

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частейуравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
[pic]
[pic]
[pic]
Теперь интегрируем: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем...
tracking img