Ddfdfdf

  • 04 сент. 2011 г.
  • 307 Слова
Пример 1. Найти общее решение уравнения
[pic]
Напишем обыкновенное дифференциальное уравнение
[pic]
Получим линейное дифференциальное уравнение, которое будем решать методом вариациипостоянных.
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ:
[pic].

. Определение типа уравнения 2-го порядка и приведение его к каноническому виду.
Пусть [pic]- неизвестная функция двухнезависимых переменных [pic]и [pic]. Тогда уравнением 2-го порядка называется уравнение вида
[pic] (4)
Тип уравнения определяется в зависимости от величины [pic]
Если [pic], то уравнениегиперболического типа,
Если [pic], то уравнение параболического типа,
Если [pic], то уравнение эллиптического типа.
Для приведения (4) к каноническому виду следует написать уравненияхарактеристик
[pic] (5)
и найти их общие решения.
Уравнения гиперболического типа при [pic].
Обозначив общие интегралы системы уравнений (5) через [pic] вводим новые независимыепеременные [pic] по формулам [pic] Тогда уравнение (4) примет вид[pic]- канонический вид уравнения гиперболического типа.
Уравнения параболического типа при [pic].
Общие интегралысистемы уравнений (5) совпадают [pic]
Вводим новые независимые переменные [pic] по формулам [pic] где [pic] - функция, удовлетворяющая условию [pic] например, [pic]
Тогда уравнение (4) примет вид[pic] - канонический вид уравнения параболического типа.
Уравнения эллиптического типа при [pic]
Общие интегралы системы уравнений (5) [pic].
Вводим новые независимые переменные[pic] по формулам [pic]
Тогда уравнение (4) примет вид [pic] - канонический вид уравнения эллиптического типа.

Пример 2. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду
[pic][pic][pic]
Уравнение эллиптического типа. Уравнение характеристик
[pic]
[pic]
Подставляя полученные значения частотных производных в данное уравнение, получим...
tracking img