Domashka

  • 09 дек. 2011 г.
  • 8806 Слова
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого утла. Решение. S ∆ABC = S ∆BCD + S ∆ACD ;

1 1 1 ab = al c sin 45° + bl c sin 45°; 2 2 2 ab = l c sin 45°(a + b ); lc = ab 2ab = . (a + b )sin 45° a + b

2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника. Решение. b 4 =(на основании свойства биссектрисы внутреннего c 5 угла треугольника). Но c 2 − b 2 = 81;
c 2 − b 2 = 81,  ⇒ b = 12, b = 4 c 5  1 1 S = ab = ⋅ 9 ⋅ 12 = 54 см 2 . 2 2

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов. Решение. Известно, что в прямоугольном треугольнике 1 a + b = 2 R + 2r , S = ab. 2 Возведем в квадрат: 2 2 a 2 + b 2+ 2ab = (2 R + 2r ) , c 2 + 4S = 4(R + r ) ,

но c = 2 R, 4 R 2 + 4S = 4(R + r ) , S = 2 Rr + r 2 .
2

4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника с площадями 384 и 216 см2. Найти гипотенузу. Решение. 1 1 ab = chc , 2 2 ab 2 ⋅ 600 1200 c= = = , hc hc hc

×

1 a c hc = 216, 2 1 bc hc = 384, 2 1 a c bc hc2 = 216 ⋅ 384. 4

Но hc= a c bc , hc2 = a c bc ,

1 4 hc = 216 ⋅ 384, 4 1200 hc4 = 4 ⋅ 6 ⋅ 66 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4, hc = 4 ⋅ 6 = 24, c = = 50 см. 24

5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте. Решение. h + hb а=6см, b=3см, a = hc , ha + hb = 2hc , 2 2S 2S 2S 1 1 2 1 1 2 + = 2 , + = , + = , c = 4. a b c ab c 6 3 c 6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2. Решение. 1. S3 = S4 (доказать самостоятельно). 2. S1 = S2 = 1 BM ⋅ MC ⋅ sin α, 2

1 AM ⋅ MD ⋅ sin α, sin (180° − α ) = sin α, 2 1 S1S 2 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅ sin 2 α. 4 1 1 3. S3 = AM ⋅ BM ⋅ sin α, S 4 = CM ⋅ MD ⋅ sin α, 2 2 1 S3S 4 = AM ⋅ BM ⋅ MC⋅ MD ⋅ sin 2 α ⇒ S1S 2 = S3S 4 , 4
S3 = S 4 = S1S 2 , S ABCD = S1 + S 2 + 2 S1S 2 =

(

S1 + S 2 .

)

2

7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей. Решение. a + b + c 13 + 14 + 15 S = p ( p − a )( p − b )( p − c ), p = = = 21, 2 2 S = 21 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84см 2 , R= abc 13⋅14 ⋅15 65 S 2 ⋅ 2 ⋅3⋅ 7 = см r = = = 4см = 4S 4 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 8 p 21

8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь. Решение. S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) =
= a+b+c b+c−a a+c−b a+b−c ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2

S S S  =  + +  ha hb hc

 S S S   h + h − h c a  b

 S S S  + −  h  a hc hb

 S S S  + −  h  b hb hc

 =  
 ,    ,  
− 1 1 1 1 = S2  + + h  a hb hc  1 1 1 1 =  + + h S  a hb hc

 1 1 1  + −  h  b hc ha  1 1 1   h + h − h c a  b

 1 1 1  + −  h  a hc hb  1 1 1  + −  h  a hc hb

 1 1 1  + −  h  b hb hc  1 1 1  + −  h  b hb hc

 1 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1  2   S =   + +  + −  + −  + −   .     h   a hb hc  hb hc ha ha hc hb  hb hb hc  

9. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его части, площади которых относятся как 2:1, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны? Решение. Из подобия треугольников AВС и BDE имеем

3S 3 y y 3 x+ y  , = k2 =   , 1 +  = , 1 + = 2S 2 x x 2  x   3 3− 2 x 2 y = −1 = , = = 2 3 + 2 = 6 + 2. x y 2 2 3− 2

2

2

(

)

10.Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разделяют площадь треугольника на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями, равными S1 , S 2 , S3 . Найти площадь данного треугольника. Решение. Обозначим площадь ∆АВС через S. Из подобия следует:
2 S   x 1  ,  =   S x+ y+z 2 S  y  2   ,  = S x+...
tracking img