Dung

  • 15 дек. 2012 г.
  • 251 Слова
Метод вращений решения линейных систем
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулениемподдиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.
[pic]
Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1 ,второе на s1 и сложим их ; полученным уравнением заменимпервое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1 , второе на c1 и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1)заменяются уравнениями
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
Отсюда [pic]. Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла [pic](отсюда название метод вращения, каждый шагтакого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).
В результате преобразований получим систему


[pic]
где
[pic]
Далеепервое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на
[pic]
а третье–уравнением, полученное при сложениирезультатов умножения тех же [pic]
[pic]
где
[pic]
Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе
[pic]
Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Этасистема обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразованийне наблюдается рост элементов.

Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица

[pic]
и т.д.
В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.[pic]
Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.
Всего метод вращения требует примерно [pic] операций умножения и...
tracking img