Fizika

  • 03 мая 2012 г.
  • 2093 Слова
Задача 1
Из уравнения Лагранжа получить уравнение Ньютона
Решение
Запишем уравнение Лагранжа
ddt∂L∂q=∂L∂q (1)
Рассмотрим одномерный случай декартовых координат. В этом случае функция Лагранжа
Lx,x=Tx-Ux=mx22-Ux 2
Подставляя (2) в (1) получим
ddt∂∂xmx22-Ux=∂∂xmx22-Ux
Произведя дифференцирование, учитывая, что U не зависит от скорости x. Получим
ddtmx=-∂U∂xОкончательно, получаем уравнение Ньютона, учитывая что Fx=-∂U∂x
mx=Fx
Задача 3
Написать функцию Лагранжа свободной частицы в цилиндрических координатах
Решение
Совершим переход от декартовых координат к цилиндрическим, то есть x,y,z→r,φ,z
Цилиндрическая система координат связана с декартовой следующими соотношениями:
x=rcosφy=rsinφ
z=z
Как известно функция Лагранжа для свободной частицы имеет вид:
L=mv22=m(x2+y2+z2)2
Рассмотрим отдельно x,y,z. Вычислим производные x, y и z по формуле дифференцирования сложной функции :
dxdt=∂x∂rr+∂x∂φφ=cosφr-rsinφφ
dydt=∂y∂rr+∂y∂φφ=sinφr+rcosφφ
dzdt=rПодставляя выражения для x,y,z в функцию Лагранжа и, выполняя сокращения, получаем
L=m2r2+r2φ2+z2
Это и есть выражение для функции Лагранжа свободной частицы в цилиндрических координатах
Задача 4
Написать функцию Лагранжа свободной частицы в сферических координатах
Решение
Аналогично предыдущей задаче можно получить выражение для функции Лагранжа свободнойчастицы в сферических координатах. Совершим переход x,y,z→r,θ,φ Сферическая система координат связана с декартовой следующими соотношениями:
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
Аналогично предыдущей задаче вычислим x,y,z и подставим их вфункцию Лагранжа:
dxdt=∂x∂rr+∂x∂φφ+∂x∂θθ=sinθcosφr-rsinφcosφφ+rcosθcosφθ
dydt=∂y∂rr+∂y∂φφ+∂y∂θθ=sinφr+rcosφφ+rcosθsinφθ
dzdt=cosθr-rθsinθ
Подставляя эти выражения в выражение для функции Лагранжа и выполняя соответствующие сокращения получим

L=T=m2r2+r2θ2+r2cosθφ2

Задача 5 (двойной плоский маятник)Написать функцию Лагранжа для двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести
Решение
Рассмотрим следующую систему.

В качестве криволинейных координат возьмем углы α и βсоставленные между первой и второй нитью и вертикалью. Этими углами однозначно определяется конфигурация такой системы. Тогда уравнения Лагранжа примут вид
ddt∂L∂α=∂L∂α и ddt∂L∂β=∂L∂βТогда для первой частицы имеем
T1=m12l12α2 U1 =-m1gl1cosα
Теперь рассмотрим вторую частицу, кинетическую энергию второй частицы выразим через декартовые координаты x2, y2 из рисунка видно, что
x2=l1sinα+l2sinβ , y2= l1cosα+l2cosβ
Отсюда скорости соответственно
x2=l1cosαα+l2cosββ , y2= -l1sinαα-l2sinββ
Так как
T2=m22x22+y22=m22l12α2+l22β2+2l1l2αβcos⁡(α-β)
Теперь рассмотрим потенциальнуюэнергию второй частицы
U2=-m1+m2l1gcosα-m2l2gcosβ
Окончательно, функция Лагранжа такой системы
L=T1-U1+T2-U2
L=m1+m22l12α2+ m22l22β2+m2l1l2αβcosα-β+m1+m2l1gcosα+m2l2gcosβ

Задача 6
Написать функцию Лагранжа n частиц, взаимодействующих между собой гравитационными силами
Решение
Функция Лагранжа L=T-U
Кинетическая энергия
T=imiqi=i=1Nmivi22
Теперь рассмотрим потенциальную энергиюсначала для взаимодействия, например первой и второй частицы
U1,2=-Gm1m2r1-r2
А для всех частиц

U=-12i,ji≠jGmimjri-rj
И тогда функция Лагранжа
L(v1,…vN,r1,..rN)=i=1Nmivi22-12i,ji≠jGmimjri-rj
Задача 7
Показать, что в потенциальном поле сил работа по замкнутому контуру равна 0
Решение
По формуле Стокса
L.Fdl=S.rotFdS
Так как поле силы F потенциально, то F=-∇U тогда...
tracking img