Formula

  • 03 марта 2011 г.
  • 1554 Слова
Сайт www.MatBuro.ru ©МатБюро - Решение задач по высшей математике, теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей
I. Случайные события
1. Основные формулы комбинаторики а) перестановки Pn = n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3...(n − 1) ⋅ n .
m б) размещения An = n ⋅ ( n − 1)...( n − m + 1). Ak n! . в) сочетания Cnk = n = Pk ( n − k ) !⋅ k !

2. Классическое определение вероятности. m P ( A) = , где m -число благоприятствующих событию A исходов, n - число всех n элементарных равновозможных исходов. 3. Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий: P ( A + B) = P( A) + P( B) Теорема сложения вероятностей совместных событий: P ( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB)

4. Вероятность произведения событий Теорема умножения вероятностей независимых событий: P ( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P(B) Теорема умножения вероятностей зависимых событий: P ( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P( B | A), , P ( A ⋅ B) = P( B) ⋅ P( A | B). P( A | B) - условная вероятность события A при условии, что произошло событие B , P( B | A) - условная вероятность события B при условии, что произошло событие A .

5. Формула полной вероятности

P ( A) = ∑ P( H k )P( A | H k ) , где H1 , H 2 ,..., H n - полная группа гипотез,то есть
k =1

n

H i ⋅ H j = ∅, i ≠ j , ∪ H i = Ω , Ω - достоверное событие.
i =1

n

6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез P( H m ) P( A | H m ) P ( H m | A) = n , m = 1,..., n , где H1 , H 2 ,..., H n - полная группа гипотез. ∑ P( H k )P( A | H k )
k =1

1

Сайт www.MatBuro.ru ©МатБюро - Решение задач по высшей математике, теориивероятностей

7. Формула Бернулли
n! p k (1 − p) n − k - вероятность появления события ровно k k !( n − k ) ! раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании.
k Pn (k ) = Cn p k (1 − p ) n − k =

8. Наивероятнейшее число наступления события. Наивероятнейшее число k0 появления события при n независимых испытаниях: np − (1 − p) ≤ k0 < np + p , p - вероятностьпоявления события при одном испытании. 9. Локальная формула Лапласа  k − np  1  - вероятность появления события ровно k раз при n независимых ϕ Pn (k ) ≈ npq  npq    испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании, q = 1 − p .

10. Интегральная формула Лапласа  m − np   m − np  Pn (m1 , m2 ) ≈ Φ  2 - вероятность появления события не менее k1 и не −Φ 1  npq   npq      более k2 раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании, q = 1 − p .

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности p :

 m  P  − p ≤ ε  ≈ 2Φ  ε   n  

 n .  p(1 − p) 

II. Случайные величины
12. Ряд распределения дискретной случайной величины

xi pi

x1 p1

x2 p2
n

……. …….

xn pn

Суммавероятностей всегда равна 1.

∑p
i =1

i

=1

13. Функция распределения (интегральная функция распределения) Функция распределения случайной величины X определяется по формуле F ( x ) = P ( X < x ) . Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если

2

Сайт www.MatBuro.ru ©МатБюро - Решение задач по высшей математике, теории вероятностей задана плотность распределения F ( x) =
f ( x ), то функция распределения выражается как

−∞

∫ f ( t ) dt .

x

14. Плотность распределения (дифференциальная функция распределения) Плотность распределения случайной величины X определяется по формуле f ( x ) = F ' ( x ) . Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее


выполняется условие нормировки:

−∞

∫ f ( x ) dx = 1

(площадь под кривой равна 1).

15.Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Может быть вычислена двумя способами: 1) через функцию распределения P (α < X < β ) = F ( β ) − F (α )

2) через плотность распределения P (α < X < β ) = ∫ f ( x ) dx
α

β

16. Математическое ожидание случайной величины 1) Для дискретной случайной величины X , заданной рядом распределения:

M ( X ) =...
tracking img