Ghjhjhjhjhj

  • 05 дек. 2012 г.
  • 3639 Слова
Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарныхфункций по схеме:
• область определения функции;
• поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
• проверка на четность и нечетность;
• область значений функции;
• промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
• промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклостивниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
• наклонные и горизонтальные асимптоты;
• особые точки функций;
• особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Как эти свойства были получены для каждой из основных элементарных функцийможете ознакомиться в разделе полное исследование функции и построение графика.
Если же Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: степенная функция с целым показателем степени, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратныетригонометрические функции.
Навигация по странице.

• Степенная функция, ее график и свойства. [pic]


• Показательная функция, свойства, график. [pic], где [pic], [pic] и [pic]


• Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация. [pic], где [pic],[pic] и [pic]


• Свойства и графики тригонометрических функций. [pic]


• Обратные тригонометрические функции (аркфункции),их свойства и графики. [pic]


Степенная функция.

ЗАМЕЧАНИЯ:
• к основным элементарным степенным функциям относят лишь степенную функцию С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ, однако мы рассмотрим все возможные действительные значения показателя степени для общего представления;
• некоторые авторы при рассмотрении степенной функции ограничивают область определения интервалом [pic]. Мы же не будемпридерживаться этого ограничения. Рекомендем уточнить отношение Вашего преподавателя к этому вопросу во избежании недоразумений. В любом случае все изложенное будет верно (если при области определения [pic] рассматривать только этот интервал и отбрасывать все оставшиеся).
Рассмотрим вид и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени (17 вариантов показателя степени: четныйположительный, четный отрицательный, нечетный положительный, нечетный отрицательный, иррациональный, масса вариантов дробно рационального показателя).

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию [pic] при нечетном положительном показателе степени, то есть, а = 1, 3, 5, ….
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций [pic] – черная линия, [pic] – синяялиния, [pic] – красная линия, [pic] – зеленая линия. При а = 1 имеем линейную функцию y = x - частный случай степенной.
[pic]
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
• Область определения: [pic].
• Область значений: [pic].
• Функция нечетная, так как [pic].
• Функция возрастает при [pic].
• Функция выпуклая при [pic] и вогнутая при [pic] (кроме линейной функции).• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
К началу страницы

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции [pic] при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а = -1, -3,...
tracking img