Gtht

  • 02 дек. 2012 г.
  • 2917 Слова
1.Линейное векторное пространствоОпр1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а1, а2, …, аn) называется n-мерным вектором ā(а1, а2, …, аn). Числа а1, а2, ..., аn называются координатами вектора.Два n-мерных вектора (а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) считаются равными, если равны их соответствующие координаты: , Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором иобозначается . Опр2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов (а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов: =а1b1;а2b2;..;аnbn). Опр3. Произведением n-мерного вектора (а1, а2, …, аn) на число k называется n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора на число k: k· =(ka1; ka2; …; kan). Свойства операций над векторами:1) +=+- коммутативность,2) +(+)=( + )+ - ассоциативность, 3) k·( )=k·k· - дистрибутивность,4) (k1k2)· = k1 · k2·, 5) (k1·k2)· =k1·(k2·), 6) 1·=, 7) 0·=, 8) k·=, 9) k· Опр 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством иобозначается En. | 2.Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторамиОпр 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов (а1, а2, ..., аn) и (b1, b2, ..., bn) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат. ·=а1·b1+a2·b2+…+an·bn. Свойства скалярного произведения:1) ·=· - коммутативность; 2. (·+)=+·* - дистрибутивность 3. k·(·)=(k·)·, 4. ·=2, 2=0 Опр2.Длиной n-мерного вектора называется величина: Опр 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле | 6.Коллинеарные и ортогональные векторыОпр 1. Два n-мерных вектора иназываются коллинеарными, если найдется число такое, что = · . Рассмотрим два коллинеарных вектора и . Так как они коллинеарны, то = , или (a1, a2, …, an)=( b1, b2,…, bn ). Следовательно, a1= b1, a2=l2, …, an= bn. Выражая из этих равенств , получим: - условие коллинеарности. Для того чтобы два вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Найдем угол между коллинеарными векторами. Опр2. Два ненулевых n-мерных вектора и называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. -условие ортогональности. |
.4. Системы векторовПусть дана система n-мерных векторов . Опр1. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида, где с1, с2, …, сk - некоторые числа.Опр2. Выпуклой линейной комбинацией системы векторов называют линейную комбинацию, в которой все коэффициенты неотрицательны и сумма всех коэффициентов равна единице.;,;Опр 3. Вектор разлагается посистеме векторов , если его можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы. | 5.Ранг и базис системы векторов Опр1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.Опр 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Теорема. Любой вектор системы можно представить в виделинейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.6.Ортогональные системы векторов Определение. Система ненулевых векторов называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны. Теорема. Ортогональная системаненулевых векторов линейно независима.. | 9.Миноры и алгебраические дополненияОпр1. Минором порядка k данной матрицы, где kmin(m;n), называется определитель k-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов. Опр2. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы называется определитель (n-1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием...
tracking img