Hdruik

  • 03 дек. 2012 г.
  • 1781 Слова
12. На векторах [pic], [pic], [pic]построена треугольная пирамида ОABC, Требуется найти:
а) длины ребер OA, OB, ОС;
Длины этих векторов находятся по соответствующим формулам:
[pic]
[pic]
[pic]
б) величину угла AОС;
Косинус такого угла находится как скалярное произведение векторов ОА, ОС, делённое на евклидову норму этих векторов
[pic]
Арккосинус этогозначения есть 55,01°
в) площадь треугольника ОАС;
Для этого нужно взять векторное произведение векторов ОА, ОС:
[pic]
Площадь такого треугольника есть половина модуля этого векторного произведения: [pic]
г) объем пирамиды ОАВС;
Объём пирамиды, построенной на тройке векторов, есть модуль смешанного произведения этих векторов, делённый на 6. Векторное произведение[pic] уже получено. Умножим его скалярно на вектор ОВ, разделим на 6 и получим искомый объём:
[pic]
д) высоту пирамиды, опущенную из вершины В;
Для этого нужно найти уравнение грани АОС. Вектор нормали к этой грани известен ― [pic]. Найдём проекцию вектора ОВ на этот вектор:
[pic]
е) высоту треугольника ОАС, опущенную из вершины A;
Площадь треугольника уже известна:[pic]. Она равна модулю вектора ОС, умноженного на искомую высоту, делённую на 2.
Следовательно, высота есть [pic]
ж) угол между ребром OA и плоскостью грани ОВС;
Нормальный вектор к ОВС есть
[pic]
Следовательно, синус искомого угла есть скалярное произведение полученного вектора и вектора ОА, делённого на модули этих векторов (возьмём по модулю):
[pic]
Арксинусэтого значения есть 45,2°
з) величину угла между плоскостями граней ОАС и ОВС;
Мы уже вычислили вектора нормали к граням ОАС и ОВС ― это вектора [pic] и [pic]. Поэтому косинус угла между этими плоскостями есть косинус угла между этими векторами:
[pic], возьмём косинус по модулю, найдём острый угол. Здесь 294 ― квадрат модуля каждого из векторов. Арккосинус такого значения есть 60°и) направляющие косинусы вектора ОВ;
Так как норма вектора [pic], то направляющие косинусы такого вектора ― это [pic], [pic], [pic].
к) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора OA на направление вектора ОВ;
Так как норма вектора [pic], то искомая ортогональная проекция есть [pic]
л) ортогональную проекцию вектора OA на прямую, перпендикулярную грани ОВС
Какустановлено, нормальный вектор к ОВС есть
[pic], его модуль есть [pic], тогда получаем искомую проекцию: [pic]


м) единичный вектор е (орт), имеющий направление вектора АВ;
Чтобы найти вектор АВ, нужно вычесть из ОВ вектор ОА:
[pic]
Модуль АВ есть [pic]
Таким образом, искомый орт, то есть, нормированный вектор АВ есть
[pic]
н) вектор а, имеющий длину вектора АВи направление вектора АС.
Находим вектор АС как разницу ОС и ОА:
[pic]
Модуль такого вектора есть [pic]
Таким образом, искомый вектор будет иметь координаты:
[pic]


13. В прямоугольной системе координат Oxyz заданы вершины А(1, 12, 13), В(2, 12, 1), С(1, 14, 12), D(3, 13, 2) пирамиды ABCD. Найти:
а) координаты середины L ребра AD
Такие координаты находятсякак среднее арифметическое соответствующих координат: [pic], [pic], [pic]
б) координаты точки М пересечения медиан грани ABC;
Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, можно найти координаты пересечения только двух медиан.
Координаты середины отрезка АС ― это [pic], [pic], [pic]. Следовательно, прямая, проходящая через эту точку и точкуВ, есть [pic]
Аналогично найдём Координаты середины отрезка АВ ― это [pic], [pic], [pic]. Следовательно, прямая, проходящая через эту точку и точку С, есть [pic]
Теперь приравнивая соответствующие координаты, получаем значение параметра t=1/3, при котором координаты обоих уравнений совпадают, тогда точка пересечения есть [pic]
в) координаты точки N, которая делит отрезок...
tracking img