Homos erectus

  • 01 июня 2012 г.
  • 325 Слова
Решение иррациональных уравнений
Ступина Л.В., шк.№ 616

Константинова Е.И., ОМЦ


Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала.Как правило, решение иррациональных уравнений связано с возведением в степень обеих его частей. При этом если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному.Если же обе части возвести в четную степень, то в общем случае получим уравнение, являющееся следствием исходного.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.
В процессе решениязаданное уравнение заменяют более простым, при этом используют следующие правила преобразований уравнения в равносильное ему:
а) перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположнымзнаком;
б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от 0 число;
в) уравнение [pic] можно заменить равносильной системой [pic][pic][pic][pic] или решить f(x)=0, а затемотбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.


1. Простейшие иррациональные уравнения

Правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений:

а) если a>0, то [pic][pic] f(x)=a2 (здесь проверять область допустимых значений f(x)[pic] не надо, так как f(x)=a2 [pic] - проверяется автоматически).

б) если [pic] [pic]x[pic]Ǿ.

в) если квадратный корень равен нулю,то и подкоренное выражение равно нулю:
[pic] [pic] f(x)=0.

Уравнения вида [pic] при n=2m решаются по аналогичным правилам.

г) если n=2m+1, то [pic] [pic]f(x)=an.



Пример 1.
Решитьуравнение: [pic].
Решение:
Отметим, что равносильные переходы предпочтительнее, так как если при решении получаем иррациональные корни, то проверка может занять больше времени, чем было потрачено насобственно решение уравнения.
Так как 2>0, то возведение в квадрат приведет к равносильному уравнению:

[pic] [pic] x2 – 5 = 4 [pic] x2=9 [pic] [pic]
Ответ: -3; 3.

Пример 2....
tracking img