Html5

  • 16 мая 2012 г.
  • 1050 Слова
1. Определение неопределенного интеграла
Если функция F(x) – первообразная для ф-ии f(x) на промежутке [a,b] , то множество ф-ий F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-и f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx=F(x)+C
При этом ф-я f(x) называется подынтегральной ф-ей, f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменнойинтегрирования.


2. Определение первообразной от непрерывной функции
Функция F(x) называется первообразной для ф-ии f(x) на промежутке [a,b] , если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x)
Если функция f(x), хЄ[a,b] – непрерывная, то для нее существует первообразная (неопред. Интеграл)


3. Теорема: Если ф-я F(x) является первообразной ф-ии f(x) на отрезке [a,b],то множество всех первообразных ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, где С-константа
Док-во: F(x)+C – первообразная, тогда (F(x)+C)’= F’(x)+C’= F’(x)=f(x)
Ф(х) – тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>
Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С
Почему так: ф-ия, производная которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этомпромежутке.φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1 ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифференциала. Инвариантность первого дифференциала: y=f(x) dy=f’(x)dx y=f(u), u=φ(x) – непрерыв,диф-я dy=f’(x)du dF(u)=F’(u)du=f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C


8. Выражение d(∫f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопределенного интеграла =подынтегральному выражению. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx


9. Интеграл ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx –неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммы интегралов от этих ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C=F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2=∫f(x)dx+∫g(x)dx


10. Вывод формулы замены переменного в неопределенном интеграле (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) определена и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-множество значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на множестве Х ф-я f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt
Док-во: Пусть F(x)-первообразная для f(x) намножестве Х. Рассмотрим на множестве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’=Fx’[φ(t)]φ’(t)=f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на множестве Т первообразную F[φ(t)]=> ∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C, Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C=∫f(x)dx, Получаем: : ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt



11. Вывод формулы интегрирования по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы на некотором промежутке Х и пустьф-я u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: Из равенства [u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует что u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x) Первообразной ф-ии [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы.Следовательно, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х. Интегрируя последнее равенство получаем: : ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv, u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu
По лекциям: d(uv)=udv+vdu Проинтегрируем последнее соотношения: ∫d(uv)=∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu

12. Определение дробно рациональной функции. Понятие правильной и неправильной рациональнойфункции. Простейшие дроби вида 1-4.
Функция вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 +…+ a1x1+ a0
n – натуральное число. ai, i=0,n – постоянные называется многочленом n-ой степени.
Определение : Дробно рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция равная отношению 2-х многочленов т. е: f(x)=Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)-многочлен степени n....
tracking img