Informatika

  • 07 апр. 2012 г.
  • 1523 Слова
Теоремы переноса для закона больших чисел

Пусть - последовательность независимых сл. вел. и - последовательность положительных целочисленных сл. вел. Положим

.

Используя результата § 1 гл. 3, очевидно при имеем:
1) если и , то ;
2) если и , то ;
3) если и , то вообще говоря не следует, что .
Естественно возникает вопрос, все же при каких условиях на из следует, что .Следующая теорема 1 дает ответ на этот вопрос, когда рассматривается закон больших чисел для последовательностей независимых сл. вел.
Теорема 1 Пусть - последовательность независимых сл. вел. и выполнены следующие условия:
Для любого существует числа и последовательность чисел такие, что при и при

;

При

.

Тогда при

(1)Сформулированная теорема переноса для закона больших чисел при неслучайной нормировке случайной суммы дает следующий эффект.
Теорема 2. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных сл. вел. Существуют последовательность положительных чисел где при , и ф.р. такие, что
(2)

во всех точках . Тогда

(3)для всех
Доказательство теоремы 1. Сначала отметим, что в силу условия и теоремы 2 § 3 гл. 1 для любого при

(4)

, (5)

. (6)

Положим

.

Тогда в силу условия для любого . Следовательно любого

(7)

Так как

поэтому из (7) получим, что(8)

В силу условии теоремы и следует, что первый слагаемый в правой части (8) стремиться к нулю при .
Для завершения доказательство теоремы остается показать, что при

Для этого введем урезанные сл. вел.

где .
Пусть и

Тогда нетрудно видеть, что

где

и

Откуда в силу (4) имеем, что при .
Теперь оценим . Легко проверить, что

где

,
.

В силу (5) для любогои существует такое что при .
Применяя неравенство А.Н.Колмогорова к имеем

В силу (6) получим, что при . Следовательно и при . ■
Доказательство теоремы 2. Прежде отметим, что из условии (2) следует выполнения условия теоремы 2.
А из существования конечного математического ожидания и в силу закона больших чисел

Тогда из теоремы 2 нетрудно показать, что при

Очевидно, что(9)

Теперь применяя теорему Крамера (см. теорема 1, § 2, гл. 1) о сходимости последовательностей сл. вел. получим утверждение (3) теоремы 3. ■
Замечание. Если в теореме 3 вместо условии (2) предполагать, что при

тогда из (9) следует, что при

Некоторые приложения теоремы переноса для закона больших чисел и относительной устойчивости для случайных сумм

1.Предельная теорема для совместного распределения стационарной длины очереди и длительности ожидания в системе в условиях большой загрузки.
Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с ожиданием. Пусть поток требований простейший, распределение длительности обслуживания произвольно. Обычно такая система массового обслуживания обозначается через .
Положим - длительности обслуживаниявызовов, - параметр входящего потока - среднее время обслуживания, - загрузка системы, - стационарная длина очереди, - стационарная длительность ожидания.
В монографии (§ 4.4) доказывается, что если и , тогда

где при и при .
Нетрудно проверить, что

(1)

где - отставшая часть обслуживания обслуживаемого вызова момент поступления вызова.Применяя теоремы 2 § 4 можно утверждать, что если , тогда

. (2)

Воспользуя (1) и теоремы § 5 имеем следующую утверждению.
Теорема 1. Пусть и .
Тогда

.

Заметим, что (2) и теорема 1 выводятся в и соответственно, воспользуя явного выражения преобразования Лапласа – Стильтьеса для и совместного распределения
2. Совместное...
tracking img