Kkkkkkkkkkkk

  • 21 нояб. 2012 г.
  • 1390 Слова
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция у=f(х) называется бесконечно малой при х→x0,если

По определению предела функции равенство означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x0|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.
Аналогично определяется б.м.ф. при х→хо+0, х→x0-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаяхƒ(х)→0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.
Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х0, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x0, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х0 и таких, что |х - х0 | < δ, выполняетсянеравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Первый и второй замечательный пределы.
Первый замечательный предел. Так называют легко выводимую в курсе математического анализа формулу
, где аргумент х измеряется в радианах.
Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sinax; tgax; arcsinax; arctgax. Это означает, что пределотношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.
Второй замечательный предел
В теории пределов так называется каждое из трех равенств:
, где е = 2,71828…
Возрастание и убывание функции.
Необходимые условия для возрастания и убывания Ф.
Если Ф диф-ма на интервале (а, в), то Ф f(x) возрастает (убывает), если F’(x)>0 (F”(x)<0), для всех Х из интервала (а, в)
Достаточное условие.
Если f(x)диф-на на интервале (а, в) и F”(x)>0 (F”(x)<0) для всех х из интервала (а, в), то эта Ф возрастает (убывает) на интервале (а, в).
Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия.
Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторойокрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Необходимое условие.
Если Ф диф-на и имеет экстремум в т х0, то ее производная в этой т = 0.; Обратная Т не верна. Существует Ф, кот в т. экстремума не имеет производной, это y=/x/
Достаточное условие экстремума.
Если непрерывная Ф у=f(x) диф-ма в некот. Б- окрестности и при переходе через нее слева направо производная меняет свой знак с«+» на «-», то это т. максимума; если с «-» на «+», то точка минимума.

Асимптоты графика Ф.
рямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий ,

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) приx → +∞, если

Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
Направления выпуклости графиков функции. Точки перегиба.
Говорят, что график функции f(x) имеет на (a,b) выпуклость направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a,b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке х0 и имеет в этой точкеконечную или бесконечную производную. Тогда точка х0 называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Необходимое условие наличия точки перегиба. Если х0 – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то
Достаточные условия наличия точки перегиба.Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечнуюпроизводную в точке х0 Если f’’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то х0– точка перегиба функции f (x).
Схема исследования функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции.
. Найти (если это возможно) интервалы знаков пределенности функции
3. Найти точки пересечения графика с осями координат
4. Определить является ли функция четная,...
tracking img