Kursovaya rabotao rccad

  • 25 июля 2012 г.
  • 2464 Слова
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ





Курсовая работа
по дисциплине «Информационные технологии в электронике»
на тему: «Аппроксимация экспериментально
полученных зависимостей»













Выполнил:
студент 4-ого курса
специальность: 210105
шифр:
Проверила:

Москва, 2012 г.1. Методы анализа
[pic]

Из приведённого выше рисунка для анализа берутся кривые А и В. Анализироваться эти кривые будут тремя методами:
1. Алгебраическими полиномами Лагранжа;
2. Интерполяционными полиномами Ньютона;
3. Наименьших квадратов Форсайта.

1.1 Алгебраический полном Лагранжа.1.1.1. Аппроксимация функций с помощью алгебраических интерполяционных полиномов

Данные, полученные при испытаниях сложных технических систем, для наглядности часто представляются графически, или в виде таблиц. Ввод сложных графиков, или таблиц большого объема в ЭВМ приводит к усложнению алгоритмов обработки. На практике предпочитают иметь дело не с графиком и таблицами, а с формулами. Если ошибкив экспериментальных данных можно не учитывать, то информацию, заданную графически или таблично, часто представляют с помощью интерполяционных формул. Простые и легко реализуемые на ЭВМ формулы дают алгебраические интерполяционные многочлены (алгебраические интерполяционные полиномы).
Задача аппроксимации функции с помощью алгебраического интерполяционного полинома формулируется следующимобразом. Пусть аналитическое выражение функции Y=f(X) неизвестно, заданы только ее значения Y1,...,YN в точках X1,...XN некоторого отрезка (a,b(. Необходимо найти полином степени n

[pic], [pic], (2.1)


для которого выполняются условия:


[pic], [pic], (2.2)

Так как в точках Xj значения функции Yj и значения полинома Pn (Xj) должны совпадать между собой, то неизвестные коэффициентыполинома можно найти путем решения системы уравнений (2.2)
Когда n+1(N, система (2.2) не имеет решений. Если среди узлов Xj нет совпадающих между собой точек, то система линейных алгебраических уравнений (2.2) может иметь единственное решение только при n+1=N, т.е. n=N-1, т.к. определителем этой системы является определитель Вандермонда, имеющий вид:

[pic], (2.3)

Известно, что при различных Xj этотопределитель отличен от нуля, т.е. система уравнений имеет решение.
По заданным N парам чисел (Xj,Yj) j=1,...N можно найти полином степени (N-1). Этот полином является единственным.

1.1.2 Интерполяционная формула Лагранжа

Одну из простейших формул интерполяции позволяет построить метод Лагранжа. По условию находим полином PN-1(X) степени (N-1), который в N точках совпадает с N значениямифункции f(X). Если найти систему полиномов ( (j(X)(, каждый из которых в точке Xj равен 1, а в остальных точках равен нулю, то интерполяционный полином можно представить в виде:

[pic], (2.4)

Это следует из того, что

[pic]

Последовательность функций ((j (X)( такого типа называется фундаментальной системой полиномов.
Учитывая, что (j(Xj)=1, получим:

[pic], (2.6)

Отсюда следует, чтоинтерполяционный полином Лагранжа имеет вид

[pic], (2.7)


1.2 Интерполяционный полином Ньютона

На практике для аппроксимации функций часто используется интерполяционный полином Ньютона. Этот полином вводится с помощью разделенных разностей различных порядков, найденных по значениям функции Y1,...,YN в точках X1,...,XN.
По определению разделенные разности 1-го порядка равны:

[pic][pic], (2.8)

Разности 2-го порядка определяются с помощью разностей 1-го порядка

[pic]

[pic], (2.9)

Пусть найдены разности (n-1)-го порядка. Тогда разности n-го порядка можно вычислить по формуле:

[pic], (2.10)

Разделительные разности располагаются в специальной таблице, которая строится по следующей схеме:
x1 y1
f(x2,x1)...
tracking img