Matan

  • 18 апр. 2012 г.
  • 8347 Слова
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение


высшего профессионального образования


ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ






































Аналитическая геометрия



Индивидуальные задания


















|Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В.|
|Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» |
|© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ |
































Пермь 2007
Образец решения варианта

1. Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы,проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.
Решение:
[pic]
Рис. 1
Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка [pic]. [pic] D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки [pic]. Получаем [pic].
Уравнение медианы AD: [pic].
Составим уравнение высоты, проведенной из вершиныВ. Так как ВЕ ( АС, следовательно [pic]. Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле [pic]. Следовательно, [pic]. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (x0,y0) в данном направлении [pic].
Уравнение высоты из вершины В: [pic], [pic].
Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместноиз уравнения [pic]. Точка О (4;[pic]).
Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x1,y1)и D (x2,y2) на плоскости [pic].
А (1,-3), D (5,3) [pic].
2. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой [pic].
Решение:
[pic]
Рис. 2
Уравнения искомых прямых имеют вид [pic], так как прямые проходят через начало координат. Задача имеетдва решения (Рис. 2). Для решения используем формулу [pic], причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен [pic], то [pic].

Тогда [pic], отсюда [pic] и [pic].
Решая каждое из получившихся уравнений,находим, что угловой коэффициент одной из прямой [pic], а другой [pic]. Уравнения искомых прямых [pic].
3. Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD (( BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.
Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение прямой, проходящей через две точки).[pic]
От общегоуравнения прямой ([pic]) перейдем к уравнению с угловым коэффициентом ([pic]).
[pic]
Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е – середина АВ, следовательно Е ([pic]).
Так как прямые параллельны, то [pic]. Используем уравнение прямой
[pic]
Уравнение средней линии трапеции: [pic].
Уравнение прямой в отрезках:
[pic]
Рис. 3
[pic], а – величина отрезка отсекаемого прямойна оси ОХ, b - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОY.
Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим [pic]. Деля обе части равенства на -5, будем иметь [pic]. Следовательно, [pic] (Рис. 4).
[pic]
Рис. 4
Нормальное уравнение прямой (Рис. 5) [pic], р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, ( - угол, который образует этот перпендикулярс положительным направлением оси ОХ.
[pic]
Рис. 5
Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель [pic], причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.
Находим нормирующий множитель [pic] (знак минус берется потому, что С = 5 ( 0). Таким образом,...
tracking img