Matan

  • 30 нояб. 2011 г.
  • 3735 Слова
Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элемент последовательности является функцией от n.
xn = f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.
Задать последовательность можноразличными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sin(n/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …
2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ({yn} = {xn ( yn}.
3) Произведение последовательностей: {xn}({yn} = {xn(yn}.
4) Частное последовательностей: [pic] при {yn} ( 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

[pic]
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку(-М; M).

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn ( M.

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ( M

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, еслидля любого положительного (>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

[pic]
Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n((.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример.Доказать, что предел последовательности lim [pic].

Пусть при n > N верно [pic], т.е. [pic]. Это верно при [pic], таким образом, если за N взять целую часть от [pic], то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n(( последовательность 3, [pic] имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно, что существует такое число n, что [pic], т.е. lim{xn} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.
xn ( a; xn ( b; a ( b.
Тогда по определению существует такое число ( >0, что
[pic]
Запишем выражение: [pic]
А т.к. (- любое число, то [pic], т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ( a, то [pic].Доказательство. Из xn ( a следует, что [pic]. В то же время:

[pic], т.е. [pic] , т.е. [pic]. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ( a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность[pic]не имеет предела, хотя [pic]

Монотонныепоследовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2)Если xn+1 ( xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 ( xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающиеи убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}=[pic] монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1}= [pic]
Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= [pic]
[pic], т.к. n(N, то знаменатель...
tracking img