Maths

  • 18 июня 2012 г.
  • 1142 Слова
Высшая Математика
Вопрос 1 « Понятие неопределенного интеграла»
Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом
если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то
где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Свойстванеопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
1.
2. или
Пример:
Вычислить
Решение:

Вопрос 2 « Решение интегрирования методом замены переменной»
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
Пример:
ВычислитьРешение:
Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

Вопрос 3 « Интегрирование по частям»
Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические,тригонометрические функции, а также их комбинации.
Формула интегрирования по частям следующая

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходныйнеопределенный интеграл сводится к разности
Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.
Пример:
Найти неопределенный интеграл
Решение:

Найдем этот неопределенный интеграл методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем ln(x), а в качестве d(v(x)) оставшуюся часть подынтегральноговыражения, то есть dx.
Имеем, , где
Дифференциал функции u(x) есть , а функция v(x) – это
ЗАМЕЧАНИЕ: константу С при нахождении функции v(x) считают равной нулю.
Теперь все подставляем в формулу интегрирования по частям:

Ответ:
Вопрос 5 «Формула Ньютона- Лейбница»
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогдасправедливо равенство
Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела.
Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство
Действительно, запишем приращениефункции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

Где
Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можнозаписать как
где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:
следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b):
, т.е.
Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница

Приращение функции принято обозначать как
Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид

Для применения формулы Ньютона-Лейбницанам достаточно знать одну из первообразных y = F(x) подынтегральной функции y = f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке.
Пример:
Вычислить значение определенного интеграла
Решение:
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1; 3], следовательно, интегрируема на нем. (О...
tracking img