Nbnekmybr

  • 20 сент. 2012 г.
  • 1442 Слова
-------------------------------------------------
Министерство образования и науки Российской Федерации
-------------------------------------------------
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
-------------------------------------------------
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики

Реферат на тему
«Случай равноотстоящих узлов. Интерполяционный многочлен Ньютона дляинтерполяции вперед»

Выполнил: студент группы 2Б06
Шевяков К.С.

Проверил: доцент Подберезина Е.И.










Томск 2011

Содержание

1. Интерполяция

2. Методы интерполирования

3. Краткая биография Исаака Ньютона

4. Многочлен ньютона

5. Примеры тематических задач

6. Литература

Интерполяция
Под интерполяцией понимают построение приближенногоили точного аналитического выражения функциональной зависимости, если о ней известны только соотношения между независимой переменной и соответствующими значениями функции в дискретном ряде точек.
Сформулируем задачу. Имеется n + 1 точка: х0 ; х1 ; …; хn (будем считать, что числа упорядочены по возрастанию). Известны значения некоторой функции у = f(x) в этих точках: f(x0); f(x1); …; f(xn).Требуется восстановить функцию (т.е. найти ее значения в остальных точках интервала (х0; хn).
Cамая простая интерполяция – линейная. При такой интерполяции значения функции в точке х, расположенной между точками хiи xi+1, принимаются равными значению линейной функции
 (*)
Легко проверить, что значения этой функции при х = хi и при х = хi+1 совпадают с заданными. Действительно, если подставить в формулу(*) хi вместо х, второе слагаемое обратится в нуль и останется f(xi), как и должно быть. Если подставить в (*)  xi+1 вместо х, то числитель дроби сократится со знаменателем, и после приведения подобных членов останется, как и должно быть, f(xi+1).
Таким образом, находя на разных кусках отрезка разные линейные функции и «склеивая» их в точках деления (их значения там совпадают), мы получаем«кусочно-линейную функцию», дающую решение сформулированной задачи.
Конечно, надо еще оценивать погрешность, но для этого придется делать дополнительные предположения о поведении искомой функции и ее производных. Мы не будем этого делать.
Можно пользоваться и более сложными интерполяционными формулами. Например, известны формулы Ньютона и Лагранжа для построения интерполяционных многочленов. С помощью этих методов можновместо линейной интерполяции провести интерполяцию многочленами более высокой степени.
Отметим, что если данные точки разбивают интервал, на котором мы хотим получить интерполяционную формулу, на отрезки разной длины, то более удобна интерполяционная формула Ньютона.
Если число заданных точек очень велико, лучше разбить интервал (х0; хn) на несколько частей и интерполировать на каждой части отдельно.При обработке данных, когда имеют место систематические и случайные ошибки, лучше применять интерполяционный многочлен не очень высокой степени, мало уклоняющийся в узлах интерполяции, точках xi, от заданных значений. Для этого существует, например, метод наименьших квадратов.

Методы интерполирования
Решение задачи методами интерполирования предполагает выполнение условия |
|  при | (1) |Интерполяционный алгебраический полином имеет вид |
| | (2) |
Задача (1) имеет решение, если степень полинома n = m-1, где m - количество точек интервала [a,b], в которых задана функция f(x). Таким образом, многочлен n-ой степени может обеспечить совпадение с приближаемой функцией f(x) в ( n+1) точке конечного интервала. Однако, поведение разности P(x) - f(x) в точках  и  при построении полинома неоговаривается. При определённых ограничениях, накладываемых на f(x), и разумном выборе координат узлов сетки xi величина  . Выполнением этого условия определяется свойство равномерной сходимости интерполяционного процесса.
Можно показать, что величина уклонения  ,  зависит, в частности, от расположения узлов интерполяции xi на интервале [a,b]....
tracking img