NikiTUZka

  • 05 дек. 2012 г.
  • 4002 Слова
1. Линейная алгебра
1.1.Системы линейных алгебраических уравнений
В курсе элементарной математики рассматривались системы из двух и трех уравнений первой степени с двумя и тремя неизвестными, то есть, системы вида:
.
Рассмотрим общий вид системы линейных уравнений, т.е. таких систем, которые состоят из m уравнений, каждое из которых содержит n неизвестных. При этом удобно обозначитьнеизвестные x1, x2,...,xn, а коэффициенты при неизвестных одной и той же буквой с двумя индексами аij, где первый индекс указывает номер уравнения, а второй - номер неизвестного, при котором находится данный индекс. Получим систему вида:
(1.1)

Определение 1. Решением системы (1.1) называется такая совокупность значений неизвестных
x1 = 1, x2 = 2, ..., xn = n,
которая при подстановке в систему (1.1)обращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение 2. Система (1.1) называется совместной, если она имеет решение, в противном случае называется несовместной.
Например, система несовместима, так как не существует ни одной пары чисел, которая обратила бы оба уравнения в тождества.

Определение 3. Система называется определяемой, если она совместима и имеет единственное решение, если же она имеетболее одного решения, то она называется неопределенной.
Например, система определена (имеет единственное решение х1 = х2 = 1), а система не определена (имеет бесконечное множество решений, именно: x1 = , x2 = 2 - , где  - любое число).
Решить систему, значит найти все ее решения или доказать ее несовместимость.
Прежде чем приступить к исследованию систем линейных алгебраических уравнений,познакомимся с новым математическим понятием - матрицей.
Для этого выпишем все коэффициенты при неизвестных системы (1.1). Удобно их записать в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m - строк и n - столбцов:
.
Такую таблицу будем рассматривать как единое целое.
1.2. Матрицы. Основные определения
Определение 1. Таблица, состоящая из m x n чисел, расположенных в m строках и n столбцах,называется матрицей размера m x n, а числа, из которых она составлена, называются элементами матрицы.
Приняты следующие обозначения матрицы:
(1.2)
Элементы матрицы можно обозначить aij, где i - номер строки, а j - номер столбца, в которых расположен элемент.
Если m = n, то матрица называется квадратной, а число n - ее порядком. Элементы матрицы а11, a22, ..., ann называют главной диагональю, а элементы a1n,a2n-1,..., an1 побочной диагональю.
Матрица размера m x n составленная из коэффициентов системы (1.1), называется матрицей системы, а матрица размера m x (n+1),
, (1.3)
полученная из матрицы системы путем приписывания столбца из свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Очевидно, что любая система линейных уравнений определяет единственную расширенную матрицу размера m x(n+1) и любая матрица определяет единственную систему линейных уравнений.
Изучение матриц, как математических объектов, представляет самостоятельный интерес, так как матрицы широко используются не только при исследовании и решении систем линейных уравнений. Рассмотрим частные виды матриц.
Виды матриц:
1. Если m = 1, матрица А называется матрицей-строкой.
.
2. Если n = 1, матрица А называетсяматрицей-столбцом.
.
3. Нулевой называется матрица, состоящая из нулей.
4. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей.
5. Если все элементы, расположенные ниже и выше главной диагонали квадратной матрицы, равны нулю, то такая матрица называется диагональной.
6. Диагональная матрица, у которой вседиагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.
. (1.4)
7. Если строки матрицы А (1.2) превратить в столбцы с сохранением номера, то получим новую матрицу n x m, которая называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается АТ.
(1.5)
8. Матрица вида (1.6)
называется трапециевидной.
1.3. Операции над...
tracking img