Sram

  • 27 мая 2012 г.
  • 1200 Слова
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Допустим, что событие А наступает в каждом испытании свероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз.
Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общийподход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)
Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие с вероятностью .
Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведенияопытов одинаковые, то эти вероятности равны.
Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т.
Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найтивероятность того, что в цель попали не менее трех раз.
Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.
Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз.
В случае пяти попаданий из пяти возможных:
Четыре попадания из пяти выстрелов:
Три попаданияиз пяти:
Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов

Формулировка.
Теорема: Если Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

Доказательство.
Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает свероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью

Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, числокоторых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

Повторные независимые испытания.
Схема и формула Бернулли.
Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли длявычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная, теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона, для маловероятных случайных событий.

Повторные независимые испытания.
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, врезультате каждого из которых может появиться или не появиться событие. При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда...
tracking img