Student

  • 18 мая 2011 г.
  • 5313 Слова
К.П. ЛОВЕЦКИЙ, Л.А. СЕВАСТЬЯНОВ, Е.Б. ЛАНЕЕВ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ»

Москва Издательство Российского университета дружбы народов 2007

Утверждено РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов Р е ц е н з е н т - кандидат физико-математических наук, доцент Третьяков Н.П.

Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А.,Ланеев Е.Б.

Учебно-методическое пособие по курсу «Вычислительный эксперимент и методы вычислений». М.: РУДН, 2007. – 35 с.

В пособии изложены примеры программной реализации задач полиномиальной интерполяции. Рассмотрены интерполяционные полиномы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Отдельное внимание уделено исследованию погрешности интерполяции. Подготовлено на кафедре систем телекоммуникаций.

© Российскийуниверситет дружбы народов, Издательство, 2007 ©Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Ланеев Е.Б., 2007

2

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА 4
Теоретическая часть (реализация примера). Программная реализация примера. 9 11

2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА
2.1. Конечные разности 2.2.Конечноразностные интерполяционные формулы

16
16 19

2.3. Интерполяционная формулаНьютона для неравноотстоящих 20 узлов

3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ ЭРМИТА
3.1. Интерполяция с кратными узлами 3.2. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями

25
25 27

4. СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА 5. ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ

30 35

3

Задача аппроксимации функции В основе большинства численных методов математического анализа лежит замена одной функцииf ( x ) (известной, неизвестной или частично известной) другой функцией ϕ ( x ) , близкой к f ( x ) и обладающей «хорошими» свойствами, позволяющими легко производить над нею те или иные аналитические или вычислительные операции. Будем называть такую замену аппроксимацией. Будем считать, что аппроксимация функции производится с помощью многочленов степени n ∈ N 0 . Тогда в зависимости от выборакритерия согласия и, в частности, от количества точек согласования f ( x ) с ϕ ( x ) (будем называть их узлами), то есть точек, в которых известна информация об f ( x ) и, возможно, ее производных, можно рассмотреть разные конкретные способы аппроксимации.

1.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ

МНОГО-

ЧЛЕН ЛАГРАНЖА
1.1. Задача полиномиальной интерполяции Пусть в a ≤ x0 < ... < xn ≤ b , известны значенияфункции y = f ( x ) , то есть на отрезке [a, b] задана табличная (сеточная) функция x x0 x1 ... xn (1.1) f ( x) : y y0 y1 ... yn Функция ϕ ( x ) называется интерполирующей или интерполяционной для f ( x ) на [a, b] , если ее значения
4

точках x0 , x1 ,..., xn

таких,

что

ϕ ( x0 ) , ϕ ( x1 ) ,..., ϕ ( xn ) в заданных точках x0 , x1 ,..., xn , называемых узлами интерполяции, совпадают сзаданными значениями функции f ( x ) , то есть с y0 , y1 ,..., yn соответственно. Тогда задача интерполяции, точнее, полиномиальной, алгебраической или параболической интерполяции (поскольку график любого многочлена называют параболой) формулируется так: для функции f ( x ) , заданной таблицей (1.1), найти многочлен Pn ( x ) такой, что выполняется совокупность условий интерполяции Pn ( xi ) = yi ∀i ∈{0,1,..., n} . (1.2) Найти многочлен Pn ( x ) - это значит, учитывая его каноническую форму (1.3) Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n , найти его n + 1 коэффициент a0 , a1 ,...an . Для этого имеется как раз n + 1 условие (1.2). Таким образом, чтобы многочлен (1.3) был интерполяционным для функции (1.1) нужно, чтобы его коэффициенты a0 , a1 ,...an удовлетворяли системе уравнений 2 n ⎧ a0 + a1x0 + a2 x0 + ... + an x0 = y0 ⎪ 2 n ⎪ a0 + a1 x1 + a2 x1 + ... + an x1 = y1 ⎨ ⎪ .............................................. 2 n ⎪a0 + a1 xn + a2 xn + ... + an xn = yn . ⎩ Из курса алгебры известно, что определитель этой линейной системы (так называемый определитель Вандермонда) отличен от нуля, если все узлы различны, то есть решение этой системы существует и единственно....
tracking img