Sukhinovinterpolation2009

  • 28 дек. 2010 г.
  • 3288 Слова
Интерполяция картографических данных

УДК 519.652, 519.63, 551.462.2

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПО РАЗЛИЧНЫМ КАРТОГРАФИЧЕСКИМ ДАННЫМ
А.А. Сухинов

В статье описан новый метод интерполяции различных экспериментальных данных, учитывающий форму области интерполяции и погрешность данных. Метод применен к задаче восстановления донной поверхности по различным картографическим данным(отметки глубины, изолинии глубины, области, отмеченные различными цветами). Разработан многомасштабный параллельный алгоритм, выполняющий интерполяцию.

Ключевые слова: Интерполяция, электронная карта, итерационный метод решения, многомасштабный алгоритм, параллельный алгоритм

Введение
Для построения гидродинамических моделей мелководных водоемов и прибрежных систем требуются точные электронныекарты этих объектов [1]. Как правило, обычные бумажные карты являются основным источником информации для построения электронных карт. В данной статье рассмотрен последний этап построения карт, когда различная картографическая информация (отметки высоты, изолинии высоты, области, отмеченные различным цветом) уже переведена в цифровой вид. Предлагаемый метод также подходит для интерполяции другихизмеренных данных. Основное отличие предлагаемого метода от других методов интерполяции заключается в том, что он может учитывать точность измерений и форму области интерполяции. Математически задача формулируется, как оптимизационная задача с естественными ограничениями. Для получения результата должна быть решена система линейных уравнений с ограничениями. Это требует большого объема вычислений прииспользовании итерационных методов. Для существенного сокращения объема вычислений использован многомасштабный подход; дополнительное ускорение получено за счет использования параллельных вычислений.

1. Оптимизационная задача восстановления поверхности
В плоской области G заданы ограничения на диапазон изменения высот: функции m (x, y) и M (x, y) такие, что m (x, y) < M (x, y), где (x, y) ∈ Gгоризонтальные координаты некоторой точки области. Это означает, что значение реальной глубины/высоты e (x, y) в области G удовлетворяет неравенствам m (x, y) e (x, y) M (x, y). Допустимы случаи, когда в некоторых точках или подобластях m (x, y) = −∞ и/или M (x, y) = +∞. Требуется построить в области G функцию f (x, y), которая имеет непрерывные производные первого порядка и ограниченныепроизводные второго порядка, удовлетворяющую

94

Вестник ЮУрГУ, №17(150), 2009

А.А. Сухинов

следующим условиям: m (x, y) α2
(x,y)∈G

f (x, y) ∂2f ∂x2
2

M (x, y) , ∂2f ∂y 2
2

(1) ∂2f ∂x∂y
2

∂f ∂x

2

+ α2

∂f ∂y

2

+

+

+2

dx dy → min,
f

(2)

где α 0 параметр, значение которого будет описано ниже. Постановка задачи имеет следующие отличия по сравнению склассической задачей интерполяции [2]: • исходные данные представлены в интервальном виде: [m (x, y) , M (x, y)] ; • форма области G также берется в расчет; это важно при интерполяции физических величин, существующих только в пределах некоторой области (например, концентрации загрязнений в водоеме). Перечисленные особенности расширяют область применения предлагаемого интерполяционного метода. Функции m (x, y) и M (x,y) обычно представляют собой результаты измерений. Например, если мы имеем N измерений глубины/высоты (xi , yi , ei ), 1 i N , то функции m и M могут быть заданы следующим образом: m (x, y) = M (x, y) = ei − ∆ei , если ∃i : xi = x, yi = y; −∞, иначе. ei + ∆ei , если ∃i : xi = x, yi = y; +∞, иначе. (3) (4)

Здесь величины ei имеют погрешность измерения ∆ei > 0. Предполагается, что координаты xi ,yi известны точно. Обсудим постановку задачи. Минимизация суммы квадратов вторых производных в выражении (2) приводит к тому, что поверхность в каждой точке стремится быть наиболее близкой к плоскости . Член со смешанной производной присутствует для того, чтобы всё выражение (2) было нечувствительно к повороту системы координат. Минимизация суммы квадратов первых...
tracking img