Tau ucheb.docx

  • 27 дек. 2012 г.
  • 2669 Слова
Основные понятия теории автоматического управления (ТАУ)
Математическое описание САУ

Математическое описание САУ включает построение моделей процессов, протекающих как в самой системе, так и в ее элементах. Математическое описание САУ осуществляют, описывая математическими соотношениями все алгоритмические элементы системы и их взаимодействие между собой и с внешней средой.
Таким образомпод математическим описанием ( мат моделью) подразумевают совокупность (систему) уравнений и граничных условий, которые в количественной форме описывают зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают два рода уравнений САУ: статики и динамики.
В общем случае уравнения динамики являются дифференциальными или интегрально-дифференциальными иполностью описывают поведение системы (элемента) в переходном режиме. Уравнения статики (установившийся режим – режим с постоянной скоростью или состояние покоя) представляют собой дифференциальное уравнение нулевого порядка, т.е. алгебраическое уравнение.
Статической характеристикой элемента (системы) называется зависимость выходной величины или скорости ёё изменения от входной от входной величиныв установленном режиме.
Линейность и нелинейность уравнений.
1. Линеаризация дифференциальных уравнений
Анализ и решение нелинейных дифференциальных уравнений связан со значительными трудностями и возможны лишь в некоторых частных случаях. Поэтому в инженерных расчетах прибегают к линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, замене их приближенными линейными.
Наиболеераспространенный метод линеаризации – метод малых отклонений, который основан на предложении достаточно малых отклонений входов и выходов от их установившихся значений.
Пусть САУ описывается нелинейным диф. уравнением F(y(j); y(i)) = 0, Где y(i) – выходная регулируемая величина и ее производные (i = 0,1,2,3,..,n). Установившийся режим наблюдается при y(j)=y0(j);
x(i) = x0(i) и уравнение для него F(y0(j); x0(i)) = 0.Если в результате изменения входной величины x=x0+x произошло отклонение выходной величины от установившегося режима, то уравнение переходного процесса: F(y0(j) + y(j); x0(i) + x(i)) = 0 (1).
Разлагаем в ряд Тейлора (функция гладкая и имеет непрерывные производные) в окрестности точки, соответствующей установившемуся режиму:
F(y0(j) + y(j); x0(i) + x(i)) = F(y0; x0) + y(j) + x(i) + R (2).
Где R– величина высшего порядка малости
Вычитаем из (2) ур-ние (1) и пренебрегая R получаем линеаризованное диф-ое уравнение:
y(j) = - x(i) (3).
Под знаком производных не сами переменные, а их отклонения y, x, поэтому ур-ние называется ур-нием в отклонениях (линейно относительно отклонений с постоянными коэффициентами).
Разделив (3) на t (при t0), получим дифф уравнение в первомприближении:

где m > n; (4).
aj = ; j = 0, 1,..,m; bi =; i = 0, 1,.., n;
Линеаризация позволяет свести широкий класс элементов и образованных ими АС к изучению их приближенных математических моделей. Статические характеристики линеаризуются методами:
1. малых отклонений;
2. касательной;
3. секущей (метод наименьших квадратов);
4. кусочно-линейной аппроксимации.

2. Решениелинейных дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа и передаточные
Функции

Линейные дифференциальные уравнения, с помощью которых описывают динамику элементов и САУ, можно решить классическим методом или путем применения преобразования Лапласа.
Решение можно представить в виде суммы:
y(t) = yобщ(t) + yчаст(t).
Общего и частного решений соответственно однородного и неоднородногодифф уравнений.
yобщ(t) – составляющая решения определяет свободное движение системы и называется переходной(свободной) составляющей ; yчаст(t) – определяет вынужденное движение системы, обусловленное x(t), и зависит как от параметров aj bi системы, так и от закона изменения входа x(t).
yчаст(t) - характеризует установившийся процесс в системе....
tracking img