Vfnhwbs

  • 10 окт. 2012 г.
  • 1562 Слова
Понятие «матрица» известно из курса линейной алгебры.
Прежде чем описать допустимые операции над матрицами, необходимо ввести её определение.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной.
Матрицы обычно обозначают большими латинскими буквами, например A,или A = (aij), где (aij) – элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца. Пусть даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) имеющие одинаковую размерность m*n.
Суммой матриц A = (aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такой же размерности , где ее элементы cij определяются равенством cij = aij + bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n).Сложение матриц обладает следующими свойствами:1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)


Произведением матрицы A = (aij) на действительное число λ называется матрица C = (cij), где ее элементы cij определяются равенством cij = λ * aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n).Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1. (λδ)A = λ(δA), λ и δ – действительные числа,
2. λ(А + В) = λА + λВ, λ –действительное число,
3. (λ + δ)В = λВ + δВ, λ и δ – действительные числа.
Введя операцию умножения матрицы на скаляр, можно ввести операцию вычитания матриц. Разностью матриц A и B будет матрица C, которую можно вычислить по правилу:
C = A + (-1)*B

Произведение матриц. Матрицу A можно умножить на матрицу B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Произведением матрицы A = (aij)размерности m*n на матрицу B = (bij) размерности n*p называется матрица C = (cij) размерности m*p, где её элементы cij определяются по формуле cij = ai1*b1j + ai2*b2j + … + ain*bnj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, p).
На рисунке приведён пример произведения матриц размерности 2*2.
Произведение матриц обладает следующими свойствами:
1. (A * B) * C = A * (B * C)
2. (A + B) * C = A*C + B*C или A* (B + C) = A*B + A*C



Умножение матриц отличается от обычного умножения чисел или переменных из-за структуры участвующих в операции элементов, поэтому здесь есть свои правила и особенности.
Умножение матриц
Самая простая и краткая формулировка этой операции такова: матрицы перемножаются по алгоритму "строка на столбец".

Теперь подробнее об этом правиле, а также о возможныхограничениях и особенностях.

Умножение на единичную матриц переводит исходную матрицы саму в себя (эквивалентно умножению чисел, где один из элементов 1). Аналогично, умножение на нулевую матрицу даёт нулевую матрицу.

Главное условие, накладываемое на участвующие в операции матрицы вытекает из способа выполнения умножения: строк в первой матрице должно быть столько же, сколько столбцов во второй. Нетруднодогадаться, что в противном случае умножать будет просто не на что.

Также стоит отметить ещё один важный момент: у умножения матриц нет свойства коммутативности (или "перестановочности"), иначе говоря, А умножить на B не равняется B умножить на А. Запомните это и не путайте с правилом для умножения чисел.

Теперь, собственно сам процесс умножения.

Пусть мы умножаем матрицу А на матрицу B справа.Произведением будет матрица С, элементы которой равны
сij=∑aik·bki,
где aik,bki- элементы матриц А и В соответственно.


Берём первую строчку матрицы А и ее i-ый элемент умножаем на i-ый элемент первого столбца матрицы B. Все полученные произведения складываем и записываем на место а11 в итоговую матрицу.

Далее первую строку матрицы А аналогичным образом умножаем на второй столбец матрицы В, а получившийсярезультат записываем справа от первого полученного числа в итоговую матрицу, то есть на позицию а12.

Затем также поступаем с первой строкой матрицы А и 3-им, 4-ым и т.д. столбцами матрицы Б, заполнив, таким образом, первую строчку итоговой матрицы.

Теперь переходим ко второй строке и снова перемножаем её последовательно на все столбцы,...
tracking img