МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ТРАПЕЦИИ

  • 13 июня 2012 г.
  • 1073 Слова
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ТРАПЕЦИИ


В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний «непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней линии трапеции, свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции.) Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Где и когда ихизучать в школьном курсе геометрии?
После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

MO – средняя линия треугольник ABC и равна . MQ – средняя линия треугольника ABD и равна . Тогда , следовательно, .

Отрабатывая основнойприем решения задач на трапецию «провести две высоты», учащимся необходимо предложить задачу: «Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD. , . Найдите длины отрезков AT и TD».

Решение задачи не вызывает у учащихся затруднения, главное усилие педагога должно быть направлено на отработку свойства высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла: высотаравнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.
Тема «Подобие фигур» очень благодатна для изучения свойств трапеции. Например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковымсторонам, равновелики. Назовем это утверждение свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Вторую часть можно предложить учащимся в виде задачи.

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки BO и OD. Тогда . Следовательно, .Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда и .
Из этих двух предложений следует, что .
Было бы замечательно не останавливаться на сформулированном утверждении, а найти связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, предложив учащимся решить задачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналейтрапеции ABCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно и . Найдите площадь трапеции».
Так как . Отсюда , из подобия треугольников BОC и AOD следует, что .Следовательно, . Тогда
С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Предлагаем учащимся решитьзадачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. , . Найдите длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О».

Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что .
Из подобия треугольников AOP и ACB следует, что .

Отсюда .
Аналогично, из подобия треугольников DOK иDBC, следует, что . Отсюда и .
Добиваемся от учащихся осознания доказанного свойства: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.
Следующее свойство четырех точек: в трапеции точка пересечениядиагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.
Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD....
tracking img