Vishaja matematika s pojasneniem

  • 24 окт. 2012 г.
  • 1585 Слова
Содержание:

1. Лекция:
Функции. Элементарные функции, экстремумы функций.

2. Лекция:
Пределы последовательностей. Пределы функций.

3. Лекция:
Дифференцирование функций.


1. Лекция.
Функции. Элементарные функции, экстремумы функций.

Степенная
Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x n , x > 0.
Заметим, что для натуральных n степеннаяфункция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

К основным свойствам степенной функции y = x a при a > 0 относятся:
• Область определения функции − промежуток (0; +∞).
• Область значений функции − промежуток (0; +∞).
• Для любых a график функции проходит черезточку (1; 1).
• Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 < ar2 .
• График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x a при a < 0 относятся:
• Область определения функции − промежуток (0; +∞).
• Область значений функции − промежуток (0; +∞).
• Для любых a график функции проходитчерез точку (1; 1).
• Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 > ar2 .
• График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.
Справедливы следующие свойства степенной функции:
o xa1xa2 = xa1 + a2
o xa1 : xa2 = xa1 - a2
o (xa1)a2 = xa1 a2
o xa1 > xa2, x > 1, a1 > a2
o xa1 < xa2, 0 < x < 1, a1 < a2
Показательная
При a >0, a ≠ 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции y = a x при a > 1:
• Область определения функции − вся числовая прямая.
• Область значений функции − промежуток (0;+ ) .
• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1 < x2 , то ax1 < ax2.
• При x = 0 значение функции равно 1.
• Если x > 0 , то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.
Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:
• Область определения функции − вся числовая прямая.
• Область значений функции − промежуток (0;+ ) .
• Функция строго монотонновозрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1 < x2 , то ax1 > ax2 .
• При x = 0 значение функции равно 1.
• Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a x > 1.
К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:
o ax1 ax2 = ax1 + x2, для всех x1 и x2.
o a−x=(ax)−1=1ax для любого x.
o nax=anx для любого x и любого n N n =1.
o (ab)x = ax bx длялюбых a, b > 0; a,b =1.
o (ba)x=bxax для любых a, b > 0; a,b =1.
o ax1 = ax2, то x1 = x2.

Определение. Функция y = loga х (где а > 0, а =1) называется логарифмческой.
Построение графиков. График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y = ax, а затемотобразить его симметртрично относительно прямой у = х.
Свойства функции у = logaх , a > 1:
1. D(f) = (0; + );
2. не является ни четной, ни нечетной;
3. возрастает на (0; + );
4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. E(f) = (- ;+ );
8. выпукла вверх;
9. дифференцируема.
Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 :
1.D(f) = (0;+ );
2. не является ни четной, ни нечетной;
3. убывает на (0; + );
4. не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. E(f) = (-; + );
8. выпукла вниз;
9. дифференцируема.

Свойства функции у = ln х :
1. D(f) = (0; + );
2. не является ни четной, ни нечетной;
3....
tracking img