Анализ

IV. ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) – г); с использованием правила Лапиталя в пункте д).
6. а) [pic] б) [pic]
в) [pic] г) [pic] д) [pic]
Решение.
а) [pic]
Имеем неопределенность вида [pic], так как пределы числителя и знаменателя равны нулю, т. е. [pic]. Следовательно,теорему о пределе частного здесь применить нельзя. Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:
[pic]
Таким образом,
[pic]
Ответ: [pic]


б) [pic]
Имеем неопределенность вида [pic], так как пределы числителя и знаменателя равны нулю. Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю изнаменателю, т. е. на [pic] и на [pic]. Таким образом,
[pic]
Ответ: [pic].
в) [pic]
Имеем неопределенность вида 1(, так как
[pic]
Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечатель-
ный предел
[pic]


Таким образом,
[pic]
Ответ: [pic].


г) [pic]
Имеем неопределенность вида [pic], так как cos 0 = 1,sin 0 = 0
Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулами [pic]
Таким образом,
[pic]
Ответ: 0.
д) [pic]
Имеем неопределенность вида ∞0. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем исходную функцию, воспользовавшись равенством
[pic]
Таким образом,
[pic]

В показателе степени имеем неопределенность вида[pic]. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя:
[pic]
Окончательно имеем: [pic]
Ответ: 1.


ЗАДАЧА 2. Производственная функция Кобба-Дугласа [pic] выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов x и затрат труда y (в стоимостном выражении), A > 0, 0 < ( < 1.
Требуется:1. Найти максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении x + y = 4,5.
2. Вычислить предельную фондоотдачу и предельную производительность труда в точке максимального выпуска.
Как изменится максимальный объем выпускаемой продукции при малых изменениях найденных объема основных фондов и затрат труда.

Решение:
1. Для того чтобы найти максимальный выпуск продукции, необходиморешить задачу нахождения условного максимума функции двух переменных [pic]. При этом бюджетное ограничение [pic] будет являться уравнением связи.
Рассмотрим один из способов решения этой задачи. Из уравнения связи находим функцию у = 4,5 – х и подставим ее в функцию [pic]. Получим функцию одной переменной

[pic]

В результате этого задача нахождения условного максимума свелась
кзадаче нахождения максимума функции одной переменной z (x). Для
решения этой задачи найдем вначале критические точки функции z (x).
Для этого вычисляем первую производную z( (x) и решаем уравнение
z( (x)= 0.
[pic]
Решая уравнение z( (x) = 0, находим критическую точку х1 = 1,8.
К критическим точкам функции z (x) относятся также и те точки из области определения, в которых первая производная z( (x)не существует. В нашем случае к таким точкам относятся х2 = 0, х3 = 4,5. Значения функции z (x) в этих точках равны нулю, [pic] Так как решается задача нахождения максимума функции z (x), то эти точки не принимаем в рассмотрение.
Исследуем на экстремум функцию z (x) в критической точке х1 =
= 1,8, используя достаточный признак.
При переходе аргумента х слева направо через критическуюточку х1 производная z( (x) меняет знак с “+” на “–”. Поэтому в точке х1 функция z (x) имеет максимум.
Из уравнения связи находим [pic] Следовательно, функция [pic] в точке М [pic] имеет условный максимум
[pic]
Ответ: Максимальный выпуск продукции [pic].
2. Для производственной функции [pic] предельная фондоотдача есть частная производная [pic], предельная...