Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры

Методические указания к контрольным работам

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Основные теоретические сведения

1. Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов aij определителя. Обозначение:

|a11 |a12 |… |a1n |
|a21|a22 |… |a2n |
|… |… |… |… |
|an1 |an2 |… |ann |

D = det [aij] =

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-строки и j-столбца и умноженный на (-1)i+j.

Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеетвид

D=an1An1+an2An2+…+annAnn

(разложение определителя по элементам n-й строки).

Определитель второго порядка

|a11 |a12 |
|a21 |a22 |

D = =a11a22-a12a21.

2. Скалярным произведением двух векторов a→= axi→+ayj→+azk→ и b→= bxi→+byj→+bzk→

называется число, определяемое равенством(a→, b→) = a→·b→ = | a→|| b→|cosφ = axbx+ayby+azbz (1)

где φ – угол между векторами a→ и b→.

| N→(A;B;C) |
| |
|M1 M0 |
|р M2 |
||

c→= a→·b→

b→

φ

a→

3. Векторным произведением двух вектором a→ и b→ называется вектор c→, длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам a→ и b→ так, что векторы a→,b→, c→ образуют правую тройку (рис. 1):

|i→ |j→ |k→ |
|ax |ay|az |
|bx |by |bz |

c→= [a→,b→]= a→·b→=

=(aybz-azby)i→+(azbx-axbz)j→+(axby-aybx)k→; (2)

| c→|=| a→||b →|sinφ

Геометрически | c→| равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a→ иb→:

S=| a→||b →|sinφ

4. Смешанное произведение трех векторов a→=axi→+ayj→azk→, b→=bxi→+byj→bzk→, c→=cxi→+cyj→czk→ есть число, равное

|ax |ay |az |
|bx |by |bz |
|cx |cy |cz |

a→ b→ c→=

(3)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a→, b→, c→.

5. Общее уравнение плоскости Pимеет вид

Ax+By+Cz+D=0,

где N→=Ai→+Bj→+Ck→ - нормальный вектор плоскости (рис.2).

Уравнение плоскости, проходящей через заданные точки M0(x0;y0;z0), M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2), имеет вид

|x-x0 |y-y0 |z-z0 |
|x1-x0 |y1-y0 |z1-z0 |
|x2-x0 |y2-y0 |z2-z0 |

=0(4)

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы N1→=A1i→+B1j→+C1k→ и N2→=A2i→+B2j→+C2k→, определяется как угол между N1→ и N2→; косинус этого угла находится по формуле

[pic][pic]

(5)

6. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M0(x0;y0;z0) и M1(x1;y1;z1), имеют вид

[pic]

(6)

7.Матрицей A=(aij)размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов: [pic]

|a11 |a12 |… |a1n |
|a21 |a22 |… |a2n |
|… |… |… |… |
|am1 |am2 |… |amn |

A=

Произведением матрицы A=(aij) размера m x r на матрицу B=(bjk) размера...