Вариант 7

  • 22 марта 2016 г.
  • 2809 Слова
Вариант 7.
Задание 1.
Двойственность в линейном программировании.
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей внахождении максимального значения функции:
F=c1x1+c2x2+…cnxn

при условии

Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:
1. Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной на минимум.
2. Матрица

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица


вдвойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т.е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).
3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе исходнойзадачи, а правыми частями в соотношениях системы двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.
5. Если переменная xj исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе двойственной задачи является неравенством вида «>».
Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j – есоотношение в системе представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи.
Если i – соотношение в системе исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Двойственные пары задач обычно подразделяют насимметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения прямой задачи и соотношения двойственной задачи являются неравенствами вида « «. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.
Двойственная задача тесно связана задачей линейного программирования. Задача первоначальная называется исходной. Решение двойственной задачи можетбыть получено из решения исходной и наоборот. Связующим фактом этих двух задач являются коэффициенты Cj функции исходной задачи. Данные коэффициенты называются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты Bi системы ограничений исходной задачи называются коэффициентами двойственной задачи. Транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи являетсяматрицей коэффициентов системы ограничений двойственной задачи.
Теорема двойственности:
Система ограничений исходной задачи в несимметричных двойственных задачах определяется как равенство. Двойственная же задача задается, как неравенство, причем переменные могут быть и отрицательными. Что бы проще понимать постановку задачи будем интерпретировать ее в матричной форме.
Сформулируем двойственную задачу.Необходимо определить матрицу-строку Y=(y1, y2,…, ym), которая максимизирует линейную функцию f=YA0 и удовлетворяет ограничениям YA>С (1.1)
Сформулируем исходную задачу.
Определить матрицу-столбец X=(x1, x2,…, xn), которая минимизирует линейную функцию Z=СХ и удовлетворяет ограничениям AX=A0,Х>0 (1.2)
Как в исходной так и в двойственной задачах А=(aij) – матрица коэффициентов системы ограничений,A0=(b1, b2,…, bm) – матрица-столбец, C=(c1, c2,…, cn) – матрица-строка. Теорема двойственности устанавливает связь между оптимальными планами пары двойственных задач.
Теорема двойственности гласит: если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется...
tracking img