Введение основы современной математики

  • 07 мая 2014 г.
  • 3862 Слова
1. Общие вопросы методологии математики и роль геометрических преобразований

2.1. Абстрактность и общность

Одна из наиболее заметных особенностей современной математики — это тенденция к все более высокой степени абстракции. Каждое сколько-нибудь важное понятие охватывает не один, а много различных объектов, которые, однако, имеют какое-то общее свойство. Абстрактная теория выводитследствия из этого свойства, которые затем можно применить к любому из рассматриваемых объектов.
Так, например, понятие «группы» относится и к жестким движениям в пространстве, и к симметриям геометрических фигур, и к аддитивной структуре на множестве целых чисел, и к деформациям кривых в топологическом пространстве. Общим свойством во всех перечисленных случаях является возможность составить такуюкомбинацию двух данных объектов, которая дает в результате объект той же природы. Два жестких движения, выполненные последовательно одно за другим, снова дают жесткое движение; сумма двух целых чисел — целое число; две кривые, смыкающиеся концами, образуют новую кривую.
Абстракция и обобщение идут рука об руку. Главным достоинством обобщения является экономия работы. Нелепо доказывать одну и ту жетеорему четыре раза в четырех разных ситуациях, когда ее можно доказать один раз в общей постановке, не зависящей от конкретного типа объектов.
Вторая характерная черта современной математики — широкое использование в ней языка теории множеств. Математику, в особенности, когда она становится более общей, интересуют уже не столько конкретные объекты, сколько их совокупности. То, что 5=4+1, не такуж важно. А вот то, что всякое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов, — гораздо более содержательно. Это последнее утверждение касается всей совокупности простых чисел, а не какого-то отдельного простого числа.
Множество — это и есть совокупность. Его можно различными способами комбинировать и получать другие множества, подобно тому, как разные операции над числами (сложение,вычитание, умножение) приводят к другим числам. Общую теорию арифметических операций называют алгеброй; по аналогии можно разработать алгебру множеств
Множества имеют перед числами определенные преимущества, особенно с точки зрения обучения. Они могут оказаться более конкретными. Скажем, нельзя показать ребенку какое-то число («Я держу в руках число 3»), зато можно показать ему какое-то числоопределенных предметов: три конфетки, три шарика, т. е. по существу множество конфет, множество шариков. И хотя, как правило, рассматриваемые в математике множества не конкретны — обычно это множества чисел или функций,— основные операции теории множеств можно продемонстрировать на конкретном материале.
Теория множеств играет в математике более существенную роль, чем арифметика, и хотя основные принципы — невсегда лучшая отправная точка, для понимания современной математики без теории множеств не обойтись. Но было бы неправильно переоценивать теорию множеств саму по себе: это всего-навсего удобный язык, и если в совершенстве владеть им и больше ничего из математики не знать, едва ли будет много проку. Наоборот, если знать «много математики» и совсем не быть знакомым с теорией множеств, возможно, достигнутькрупных успехов. Но если знать что-то и из теории множеств, можно значительно лучше понимать язык математики.

1.2 Интуиция и формализм

Тенденция ко все большей общности сопровождается ростом требований, предъявляемых к логической строгости. Евклида теперь критикуют за отсутствие в его системе аксиомы о том, что всякая прямая, проходящая через точку внутри треугольника, должна где-то пересечьтреугольник. Эйлерово определение функции как «кривой, свободно проведенной от руки» портит математикам всю игру и страдает к тому же неопределенностью (что такое «кривая»?). Однако в заботе о логической безупречности легко хватить через край, заменив словесные рассуждения потоком логических символов и слепым применением стандартных приемов. В этом направлении можно...
tracking img