Выделение квадратного многочлена по методу Хичкока

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»
Кафедра информатики и информационных технологий

Курсовая работа
по Вычислительной математике
на тему: Решениеалгебраического уравнения выделением квадратного трёхчлена по методу Хичкока.

Выполнил: студент группы АВ-08-1
Александров Д.И.

Проверила: Коринченко Г.М.

г. Магнитогорск 2009 г.

Содержание1 Введение 3

2 Теоретический обзор 4

2.1 Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей 4
2.2 Метод Хичкока выделения квадратного множителя 5

3 Практическая часть 7

3.1 Таблица идентификаторов 7
3.2 Листинг программы 8
3.3 Результаты 10

4 Заключение 11

5 Библиографический список 12Введение

Существует множество методов решения алгебраических уравнений. Одним из них является метод выделение множителей. Данный метод основан на выделении из исходного уравнения многочленов со степенью не выше двух и замены их произведением исходного многочлена. Для выделения многочленов существуют несколько методов Линда, Фридмана, Хичкока.
В данной работе мы рассмотрим способ выделенияквадратного трёхчлена по методу Хичкока. И постараемся реализовать программу решения алгебраического уравнения c использованием этого метода в математическом пакете MathCAD.

Теоретический обзор

1 Отыскание корней алгебраических уравнений методом выделения множителей

Известно, что многочлен
(1)

с действительными коэффициентами может быть представлен в видепроизведения многочленов степени не выше двух тоже с действительными коэффициентами. Линейные множители в этом разложении соответствуют действительным корням уравнения
[pic] (2)
а квадратичные — парам комплексно-сопряженных корней. Таким образом, имея способы разложения многочлена на множители, мы сведем задачу отыскания корней уравнения к решению совсем простых уравнений. В связи с этим разработаны методывыделения действительных множителей многочлена fn(x).
При применении методов выделения множителей приходится выполнять многократно деление многочлена на многочлен, т. е. находить частное и остаток.
Для отыскания частного

и остатка [pic]
от деления многочлена (2) на множитель x2-px-q можно использовать следующую схему:

где последняя строка получается как сумма первых трехстрок.
Эта схема просто получается из тождества

(3)

сравнением коэффициентов при одинаковых степенях х. Это дает

откуда следует:

(4)

что и реализовано в схеме.

2 Метод Хичкока выделения квадратного множителя

Произведем деление заданного многочлена

(1)

на трехчлен [pic] (2)

с неопределенными коэффициентами р и q. Обозначив через L (х) частное от деления,получим тождество

(3)

где Р(р, q) и Q(p, q)—многочлены от р и q. Для того чтобы при некоторых значениях р, q трехчлен (2) был делителем fn(x), необходимо и достаточно обращения в нуль многочленов Р(р, q) и Q(p, q).
Таким образом, для отыскания коэффициентов квадратичного делителя (2) многочлена fn(x) нужно найти решение системы

(4)

Хичкок предложил для решения этойсистемы метод, который по существу является методом Ньютона, но только в методе Хичкока не используется явный вид многочленов Р и Q, а их значения и значения производных, нужные в методе Ньютона, находятся путем двукратного деления fn(x) на приближенное выражение g2(x).
Покажем, как можно на этом пути получить производные от Р и Q. Разделим многочлен L(x) входящий в...