Высшая математика для чайников

  • 16 янв. 2013 г.
  • 1207 Слова
2011 год
Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.

Виосагмир И.А. Решение контрольной №1 2011 год

viosagmir@gmail.com

Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.
2011 год

Дорогой читатель! Данная книга посвящена решению контрольной работы №1 за первый семестр. Здесь присутствуют задания, которые вы должны уже с легкостью решать. Так же готов заметить, чтоздесь нет разжеванного материала. То есть я уже расчитываю на то, что вы что-то уже умеете решать. В книгу включены разделы, такие как «ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО», «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ» и «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО». В каждой теме даны несколько базовых заданий. Если вы их умеете решать, то высреднячок в математическом анализе.

1

Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.
2011 год

Содержание
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного Вычислить предел………………………………………………………………………………………………………………..3 Найти асимптоты функции…………………………………………………………………………………………………..4 Определить глобальные экстремумы…………………………………………………………………………………5Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить график………..6 Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции……………………………………………….8 Дифференциальное исчисление функций и его приложение Провести полное исследование и построить график…………………………………………………………8 Найти локальные экстремумы функции……………………………………………………………………………10 Интегральное исчисление фунцкции одного переменного Найтинеопределенный интеграл……………………………………………………………………………………..11 Вычислить определенный интеграл………………………………………………………………………………….12 Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми…………………………………….12

2

Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.
2011 год

Контрольная работа по математике за 1 семестр Вариант 2 «ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» №1. Вычислитьпредел lim


( − sin ) ln (1 + ) sin 2

Решение: Воспользуемся формулой Тейлора для элементарных функций. Сначала распишем числитель. ln(1 + ) = ln (1 + ) = − sin − 1 2 − + 1 3 11 12 1 6 − 1 4 − − 5 6 + 1 5 + − 137 180 ) 1 6 + ( + ( ) )

+

ln (1 + ) =

1 6

+ (

Теперь можем расписать и знаменатель. sin = 2 sin 2 = − 1 38 1 6 + 1 120 ) + ( )

+ (

В итоге вот что у нас получится: ( −sin ) ln (1 + ) sin 2 1 = lim 6


lim


1 −6 1 38

+ ( + ( )

) = lim


1 1 6−6 + ( 1 38 + ( )

) =

16 3

3

Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.
2011 год

№2. Найти асимптоты функции = Решение: Горизонтальная асимптота → lim


+

+

=∞

Следовательно, горизонтальной асимптоты нет. Наклонная асимптота → +

lim


=1= − =1= = + , тоlim


+

Следовательно, у нас есть наклонная асимптота. Она будет представленна ввиде есть = + 1. Вертикальная асимптота → lim


+

=∞ = 0.

Вертикальная асимптота существует. Она будет представлена ввиде

4

Высшая математика для чайников. Решение контрольной №1.
2011 год

№3. Определить глобальные экстремумы 4 1 ∙4 4

Решение:

2 3

3 2

2, при

2, 0

Чтобы найти глобальные экстремумы, нужно исследовать производную данной функции. 1 ∙2∙3 3 3 3 ∙2 2 2 2 3 3

Разложим ее на множители. 2 4

16, √

4,

,

Таким образом, наша функция принимает следующий вид: 2 3 3

2

3, 1

2

Найдем критические точки:

1 0 3 1

3

1

0→

Отметим наши точки на оси Ox и определим знаки. По знакам мы можем сказать, что происходит с нашейфункцией: убывает она или возрастает. Нам нужны глобальные экстремумы на промежутке 2, 0 . Соответственно, отмечаем его (это розовые границы). По рисунку сразу видно, что 1 точка минимума.

Теперь найдем точку максимума. 2 Так как 2 0 , то точка 2

16 4

2∙ 0

8 3

точка максимума.

2

3∙

4 2

2

16 3

5

Высшая математика для чайников....
tracking img