Геометрия

  • 17 янв. 2013 г.
  • 1316 Слова
14. Гладкая линия.
Определение 1: Элементарная линия γ0, определяемая параметри-
ческими уравнениями x=(x(t), y= y(t), z= z(t),
t ∈ I (t изменяется в промежутке I), называется
гладкой линией класса Сk, где k – некоторое нату-
ральное число, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в
промежутке I непрерывныепроизводные до порядка
k включительно, причем в каждой точке t ∈ I
ранг x′, y′, z ′ =1.
Пример 1:
Синусоида на плоскости Oxy определяется уравнениями
x = t , y = sin t , z = 0, t ∈ R .
x′ = 1, y′ = const , z ′ = 0 ⇒ условие (2) выполнено. Следовательно, сину-
соида – гладкая линия класса С ∞.
Определение 2: Простая линия γназывается гладкой класса С k
(k≥1), если у каждой её внутренней точки M суще-
ствует такая ε –окрестность B(M, ε ), что пересе-
чение
γ I Β (M, ε )- гладкая элементарная линия класса С .
k
Определение 3: Линия γ называется кусочно-гладкой, еслиобласть
U можно покрыть не более как счетным множест-
вом промежутков Ik, внутри каждого из которых
уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах
этих промежутков требование гладкости может
нарушаться).
Пример 3:
Фигура, определяемая уравнениями
x= a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ), z = 0 , (4)
где a = const > 0 , называется обыкновенной циклоидой


15. Векторная функция скалярного аргумента. Бесконечно малые векторы. Предел переменного вектора.

Пусть V – трехмерное векторное пространство над полем R, а G -
двумерный промежуток (т.е. арифметическое пространство R2=RxR; либо
замкнутое полупространство R2+ ={(u,v)∈ R2│ v ≥ 0 }; либо числовой квад-
рат {(u,v) ∈ R2│ 0 ≤ u ≤ a ; 0 ≤ v ≤ a ; a > 0 }. Если по некоторому закону каждой точке (u,ν) ∈ G поставлен в соответствие определенный вектор r (u,ν ) из V, то говорят, что в двумерном промежутке G задана векторная функция r (u,ν ) двух скалярных аргументов u,ν .
Определение 1: Векторная функция r (u,ν ) называется беско-
нечномалой вблизи точки (u0,v0), если числовая функция │ r (u,ν ) │бесконечно мала вблизи точки(u0,v0).

Пишут: ( u ,νlim,ν ) r (u ,ν ) = 0
)→( u 0 0
Определение 2: Векторная функция r (u,ν ) называется беско-
нечно малой вблизи точки (u0,v0), если числовая

функция │ r (u,ν ) │ бесконечно мала вблизиточки(u0,v0).

Пишут: ( u ,νlim,ν ) r (u ,ν ) = 0
)→( u 0 0
Определение 3: Пределом векторной функции r (u,ν ) при (u,v)
r
→(u0,v0) называется такой постоянный вектор a ,
r r
что r (u,ν ) − a есть бесконечно малый векторвблизи точки (u0,v0), т.е.
r r
lim,ν ) r (u ,ν ) − a = 0
( u ,ν )→( u
r r 0 0
Пишут: ( u ,νlim,ν ) r (u ,ν ) = a
)→( u0 0
16. Производная векторной функции. Правила дифференцирования переменных векторов.
Определение 5: Если в некоторой точке u векторная функция
r
r dr (u,ν 0 )
r (u,ν 0 ) имеет производную , то она на-...
tracking img