Двойные и криволинейные интегралы

  • 17 янв. 2014 г.
  • 1558 Слова
Двойные и криволинейные интегралы.
1.Двойной интеграл.
1.1.Основные понятия и определения.
Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных, который вычисляется в некоторой области переменных. Это может быть прямоугольная область (то есть границы области заданы и являются постоянными числами), либо границы могут определяться неким функциональным выражением. В данном случае границыобласти интегрирования двойного интеграла задаются кривыми (графиками функций). В физике и математике вычисление двойных интегралов является частым необходимым этапом в решении задач. Например, с помощью двойных интегралов вычисляется масса плоских фигур (при этом f(x,y) - подынтегральная функция - играет роль поверхностной плотности фигуры, которая зависит от координат точек фигуры).
Двойнойинтеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
 – область интегрирования (плоская фигура);
 – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;
 – значки дифференциалов.

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f (x; y). Разобьем область D на n «элементарных частей» Di (i=1, n), площади которых обозначим через ∆Si, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) ─ через di (см. рис. 1).

Рис.1
В каждой области Di выберем произвольную точку Mi (xi; yi), умножим значение f (xi; yi) функции в этой точке на ∆Si и составим сумму всех таких произведений:
f(x1; y1)∆S1+f(x2; y2)∆S2 + … + f(xn; yn)∆Sn= i=1nf(xi; yi)∆Si (1.1)
Эта сумма называетсяинтегральной суммой функции f (x;y) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (1.1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что max di → 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f (x;y) по области D и обозначается Dfx;ydx dy (или Dfx;ydS)
Таким образом, двойнойинтеграл определяется равенством
Dfx;ydx dy= limn→∞i=1n f(x1; y1)∆S1 (1.2)
В этом случае функция f (x; y) называется интегрируемой в области D; D ─ область интегрирования; x и y ─ переменные интегрирования; dx dy (или dS) ─ элемент площади.
Теорема 1.1 (достаточное условие интегрируемости функции):
Если функция z = f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.Замечание.
Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 2). При этом ∆Si= ∆xi · ∆yi, равенство (1.2) можно записать в виде

Dfx;ydx dy= limn→∞i=1n fx1; y1∆xi*∆yi
1.2.Геометрический ифизический смысл двойного интеграла
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x; y) ≥0, снизу ─ замкнутой областью D в плоскости Oxy, с боков ─ цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 3). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекцияповерхности z = f (x; y) на плоскость Oxy) произвольным образом на n областей Di, площади которых равны ∆Si (i =1, n). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f (x; y) (на рис.3 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через ∆Vi, получимРис. 3
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Mi (xi; yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi= f (xi; yi). Объем этого цилиндра приближенного равен объему ∆Vi...
tracking img