Дистанционное зондирование

  • 15 мая 2011 г.
  • 3808 Слова
3. СЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ

3.1. Общие сведения

Моделями случайных сигналов служат случайные функции времени - случайные процессы (СП). В § 2.1. уже было введено определение СП. Под СП понимается такая функция времени X(t), которая, являясь исходом случайного эксперимента, непредсказуемым образом принимает вид конкретной функции x(t,() из некоторого множества функций {x(t,(), (((},где ( множество исходов случайного эксперимента. Каждому элементу ( пространства исходов ( ставится в соответствие конкретная реализация СП x(t,(), называемая также выборочной функцией или траекторией СП. Важно, что исходы СП не только непредсказуемы, но и обладают статистической устойчивостью. Последнее означает, что каждой реализации (исходу) можно приписать вероятностную меру, например,вероятность или плотность вероятностей. Полное задание СП предусматривает определение множества возможных реализаций {x(t,(), (((} и вероятностной меры, характеризующей вероятность появления отдельных реализаций.
На рис.3.1. ситуация иллюстрируется на упрощенном примере, в котором множество исходов состоит всего лишь из 3 элементов: (1=1, (2=2, (3=3. Им соответствуют три реализации - выборочные функцииx(t,1), x(t,2), x(t,3), показанные на рисунке. Определены вероятности исходов P1, P2, P3 (P1+P2+P3 =1). Характерно, что отдельные реализации СП являются детерминированными функциями, заданными в данном случае графически. Возможность полного задания СП, приведенная в примере, не характерна для СП. Обычно множество исходов ( бесконечное и нужен специальный математический аппарат для представления ианализа СП.
В большинстве случаев для задания СП X(t) пользуются многомерными плотностями вероятностей (ПВ). Тождественным является подход, в котором пользуются многомерными функциями распределения. Сечение (отсчет, мгновенное значение) СП X(t) в некоторый фиксированный момент времени t1 представляет случайную величину X(t1)=X1. Так, например, для СП, представленного на рис.3.1., это случайнаявеличина X1, принимающая одно из трех значений x(t1,1), x(t1,2), x(t1,3) с вероятностями соответственно P1, P2, P3. В общем случае сечение СП X(t1) - случайная величина X1 , которая может принимать счетное или континуальное множество значений. Аналогично могут быть определены сечения СП в другие моменты времени t2,...,tn. При этом получаются случайные величины X(t2)=X2,...,X(tn)=Xn.Плотность вероятности n-го порядка (n-мерная ПВ) СП X(t) называется совместная ПВ n случайных величин X1, .., Xn - сечений процесса в моменты t1,...,tn. Многомерные ПВ играют существенную роль в теории СП. Поэтому более подробно обсудим их, начиная с простейших.
Одномерная ПВ p1(x1,t1) - ПВ случайной величины X(t1)=X1, является функцией двух переменных: значения функции x1 и момента ее отсчета t1(T, где T -область определения СП, например t((0,T), t((0,() и т.д. С помощью ПВ p1(x1,t1) можно подсчитать математическое ожидание и дисперсию СП X(t) в произвольный момент t1(T, а также вероятность (Вер) того, что реализация x(t,() процесса X(t) в момент t1 пройдет через "окно" a13 является удобной математической абстракцией, обобщающей геометрические закономерности и соотношения, имеющие место в реальномпространстве, на пространство с произвольным конечным числом измерений n.

Евклидово пространство Rn представляет собой векторное, метрическое, нормированное пространство. Это значит, что элементами пространства являются n-мерные вектора [pic][pic], где xk, yk (R, k=1,...,n .

Определены операции: сложения векторов

[pic], (2.7.1)

умножение вектора на число ( ( R

[pic],(2.7.2)

скалярного умножения векторов x и y

[pic]. (2.7.3)

В евклидовом пространстве скалярное произведение порождает: метрику пространства ((x,y) - расстояние между элементами пространства (векторами, точками) x и y

[pic], (2.7.4)

норму ||x|| - длину вектора x

[pic] (2.7.5)

и косинус угла [pic] между векторами x и y

[pic]. (2.7.6)...
tracking img