Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння

Тема: «Диференціальні рівняння першого порядку»

План
1. Диференціальні рівняння з віоокремлюваними змінними.
2. Однорідні рівняння.
2.1. Загальна теорія
2.2. Рівняння що зводяться до однорідних.
3. Лінійні рівняння першого порядку.
3.1. Загальна теорія.
3.2. Рівняння Бернуллі.
3.3. Рівняння Рікатті.
3.4. Приклади.
4. Диференціальні рівняння першого порядку,не розв’язані відносно похідної.
4.1. Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної.
4.2. Приклади.


Рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має вигляд
.
Диференціальне рівняння становить зв’язок між коорди¬натами точки та кутовим коефіцієнтом дотичної до графі¬ку розв’язку в цій же точці. Якщо знати та , то можна обчислити тобто .Таким чином, диференціальне рівняння визначає поле напрямків, і задача інтегрування рівнянь зводиться до знаходження кривих, що звуться інтегральними кривими, напрям дотичних до яких в кожній точці співпадає з напрямом поля.
1. Рівняння з відокремлюваними змінними
Рівняння вигляду
,
або більш загального вигляду

називаються рівняннями з відокремлюваними змінними. Розділимо його на іодержимо
.
Взявши інтеграли, отримаємо
,
або .
Означення. Кінцеве рівняння , що визначає розв’язок диференціального рівняння як неявну функцію від , називається інтегралом розглянутого рівняння.
Означення. Рівняння , що визначає всі без винятку розв’язки даного диференціального рівняння, називається загальним інтегралом.
Бувають випадки (в основному), що невизначені інтеграли абоне можна записати в елементарних функціях. Незважаючи на це, задача інтегрування вважається виконаною. Кажуть, що диференціальне рівняння розв’язане в квадратурах.
Можливо, що загальний інтеграл розв’язується відносно : . Тоді, завдяки вибору , можна одержати всі розв’язки.
Означення. Залежність , що тотожньо задовольняє вихідному диференціальному рівнянню, де довільна стала,називається загальним розв’язком диференціального рівняння.
Геометрично загальний розв’язок являє собою сім’ю кривих, що не перетинаються, які заповнюють деяку область. Іноді треба виділити одну криву сім’ї, що проходить через задану точку .
Означення. Знаходження розв’язку , що проходить через задану точку , називається розв’язком задачі Коші.
Означення. Розв’язок, який записаний у вигляді ізадовольняє умові , називається розв’язком у формі Коші.

2. Однорідні рівняння
2.1. Загальна теорія
Нехай рівняння має вигляд
.
Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівня¬ння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня , тобто

Робимо заміну . Після підстановки одержуємо
,
або
.
Скоротивши на і розкривши скобки, запишемо
.
Згрупувавши, одержимо рівняння звідокремлюваними змінними
,
або
.
Взявши інтеграли та замінивши , отримаємо загальний інтеграл .
2.2. Рівняння, що зводяться до однорідних
Нехай маємо рівняння вигляду
.
Розглянемо два випадки
1) .
Тоді система алгебраїчних рівнянь

має єдиний розв’язок . Проведемо заміну та отримаємо

Оскільки - розв’язок системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння приймевигляд

і є однорідним нульового ступеня. Робимо заміну .
Підставимо в рівняння
.
Одержимо
.
Розділивши змінні, маємо
.
І загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд .
Повернувшись до вихідних змінних, запишемо
.
2) Нехай , тобто коефіцієнти строк лінійно залежні і
.
Робимо заміну . Звідси .
Підставивши в диференціальне рівняння, одержимо
,
або
.Розділивши змінні, отримаємо
.
Загальний інтеграл має вигляд
Однорідні рівняння можуть бути записані у вигляді або , де і - однорідні функції одного й того ж ступеня. Для того, щоб розв’язати однорідне рівняння, необхідно провести заміну , , в результаті якої отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними.
Приклад 1. Розв’язати рівняння .
Розв’язок. Дане...