Информатика

  • 01 апр. 2012 г.
  • 1980 Слова
Математика, 10 класс

Мендель Виктор Васильевич


Применение векторов и координат для решения задач

Введение

Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется векторный метод.
Вы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель нашейработы: научиться применять знания для решения задач. Здесь большое значение имеет опыт: чем с большим числом приемов решений и доказательств вы ознакомились – тем “мощнее” ваш арсенал.
Дадим несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты:
Во-первых, естественно, нужно применять координатный иливекторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;
Во-вторых, координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить геометрическое место точек (т.е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие некоторому условию);
В-третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;В-третьих, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;
В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.
Вооружившись этимисоветами и повторив материал по школьному учебнику геометрии[1], вы можете двигаться дальше. В следующем параграфе изложен материал, который не включен в школьный учебник, но может быть весьма полезен нам в дальнейшем.





§2 Свойства и теоремы о векторах и координатах на плоскости

п.1. Разные способы определения координат точки на плоскости
1.1. В математике используется два способавведения координат. В первом случае используются понятия: “система координат”, “координатные оси”, “координаты точки”. Тогда координаты точки определяются как координаты ее проекций на координатные оси (ОХ) и (OY). Аналогично определяются и координаты вектора. Остановимся на этом по подробнее: В прямоугольной системе координат векторы [pic], [pic] и [pic] отложим от точки О – начала координат(см. Рис. 1). В этом случае координаты вектора [pic] совпадают с координатами точки А в рассматриваемой системе координат. Поэтому координаты вектора вычисляются как координаты его конца – точки А.
Во “взрослой” математике применяется другой способ определения координат точки. Познакомимся с ним. Рассмотрим вектор, начало которого находится в начале координат, а конец – в некоторой точкеА. Вектор [pic] называют радиус-вектором точки А. Коэффициенты разложения радиус-вектора по векторам [pic] и [pic] мы и будем называть координатами точки А.
Такое определение может показаться ненужным, с его помощью координаты построенной на чертеже точки не найдешь. Но оно позволяет применять аппарат векторной алгебры для работы с координатами точек. В этом читатель может убедиться,познакомившись с примерами.
Пример 1. Пусть нам даны координаты точек М1 и М2: М1(х1; у1), М2(х2; у2). Надо найти координаты точки М, такой, что [pic] (где λ – некоторое действительное число, не равное -1).
Решение: При изучении темы “Векторы” в 8 классе вы узнали, что для любой точки О и указанных выше точек М1, М2 и М имеет место векторное равенство:
[pic] (2.1)
Выберем точку О так, чтобыона совпала с началом координат. Тогда векторы [pic], [pic] и [pic] и будут радиус-векторами точек М1, М2 и М и их координаты будут совпадать с координатами самих точек.
Применим к уравнению (2.1) известные правила действий над векторами в координатах. Мы получим для координат (х; у) вектора [pic] следующие выражения:
[pic] (2.2)
Так как координаты...
tracking img