Кардано

  • 09 сент. 2011 г.
  • 1081 Слова
Джерола́мо Карда́но
Научная деятельность.
Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x3 + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Высокоеискусство» («Ars magna») он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет (1545) опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир и узнал о замечательном открытии. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано также обнаружил,что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при x2 (одна из формул Виета).

Формула Кардано
Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарныхсоображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:
. (1)
Если положить , то мы приведем уравнение (1) к виду
, (2)
где , .
Введем новое неизвестное с помощью равенства .
Внося это выражение в (2), получим
. (3)
Отсюда
,
следовательно,
.
Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для оказывается симметричнымотносительно знаков «» и «», то окончательно получим
.
(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться ).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от вновь к , то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Ферраринаходит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
Пусть
— (1)
— общее уравнение 4-й степени.
Если положить , то уравнение (1) можно привести к виду
, (2)
где , , — некоторые коэффициенты, зависящие от , , , , . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:
. (3)
В самом деле, достаточно раскрытьскобки, тогда все члены, содержащие , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).
Выберем параметр так, чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно ), стоящего справа:
. (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можемрешить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
.
Отсюда
.
Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения (2), а, следовательно, и (1).
За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. Понекоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21сентября 1576 г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано — астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано
Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,
.
Привычислении нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если . Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для . Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный...
tracking img