Контрольная работа по математике за 1 семестр

  • 20 янв. 2013 г.
  • 416 Слова
Контрольная работа по математике за 1 семестр


Вариант 4


«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»








1. Вычислить предел [pic]Воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых:
[pic], (при [pic] [pic])
[pic]~[pic] [pic]~[pic] (при [pic] и [pic])
[pic]

























2. Найти асимптоты функции[pic]
Точка разрыва функции [pic]
Найдем односторонние пределы

[pic]

[pic]
Оба предела равны [pic] следовательно прямая, заданная функцией [pic], является вертикальной асимптотой.
Найдемнаклонные асимптоты, которые имеют вид [pic]
[pic]

[pic]
Получаем, что прямая [pic] является наклонной асимптотой для данной функции.

























3. Определитьглобальные экстремумы
[pic] при х([1,е]

Найдем критические точки
[pic]
[pic] обращается в 0 при [pic] или [pic]
[pic] не входит в заданный промежуток [pic]
[pic] следовательно [pic]
Найдемзначение в этой точке и на границах отрезка [pic]
[pic]

На данном промежутке глобальный минимум в точке [pic], глобальный максимум достигается в точке [pic]4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
[pic]

Найдем критические точки функции

[pic]

[pic]

[pic] при [pic]

[pic]Функция возрастает:[pic]

Функция убывает [pic]

Точка максимума [pic]

Точка минимума [pic]

[pic]





















5. Найти промежутки выпуклости и точки перегибафункции
[pic]

[pic]

[pic]

Функция выпукла вверх на промежутке [pic] и выпукла вниз [pic].

Точка перегиба [pic]



























«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»



1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
[pic]

1) область определения функции [pic]

2)...