Контрольная работа по численным методам

  • 15 июня 2013 г.
  • 2635 Слова
1. Определить абсолютную и относительную погрешности функции, если известны абсолютные погрешности аргументов ∆x*=0,5*10-3; ∆y*=0,5*10-2.
Решение.
z=x*ey;
∂z∂x=ey; ∂z∂y=x*ey
∆z*=∂z∂x∆x*+∂z∂y∆y*=ey*0,5*10-3+x*ey*0,5*10-2
δz*=∆z*z=ey*0,5*10-3+x*ey*0,5*10-2x*ey==0,5*10-3+x*0,5*10-2x.
Пусть x=1и y=0, тогда
∆z*=e0*0,0005+e0*0,005=0,0055;
δz*=e0*0,0005+0,0051=0,0055.
Ответ: ∆z*=0,0055 иδz*=0,0055.

2. Графическим способом отделить корни уравнения интервалами длиной равной 1. Найти наименьший положительный корень уравнения методом половинного деления с точностью 0,05 и итерационными методами (простой итерации и Ньютона) до четырех верных знаков.
Решение.
arctgx-1x+2=0
Представим исходное уравнение в виде: y1=y2, где y1=arctgx, y2=1x-2.

Из рисунка видно, что имеется однаточка пересечения, то есть один корень уравнения принадлежит отрезку [0,1;1].
Методом половинного деления уточним корень уравнения с точность ε=0,05 определённого на отрезке [0,1;1].
f0,1=-7,9
f1=arctg1-11+2=1,785
f0,1+12=f0,55=0,685
f0,55>0, f0,1<0=>x* лежит в интервале [0,1;0,55].
f0,55+0,12=f0,325=-0,763<0 =>корень лежит в интервале (0,325;0,55).
f0,325+0,552=f0,4375=0,127>0=>корень принадлежит интервалу (0,325;0,4375).
f0,325+0,43752=f0,38125=-0,259<0 =>корень принадлежит интервалу (0,38125;0,4375).
f0,409375=-0,054<0 =>корень принадлежит интервалу (0,409375;0,4375) => x*=0,409375+0,43752=0,4234375≈0,423.
Итерационные методы (метод простой итерации).
Преобразуем исходное уравнение:
arctgx-1x+2=0 => arctgx+2=1x => x=1arctgx+2 ,т.е.φx=1arctgx+2.
xi+1=1arctgxi+2 (x0=0,1).

Результаты вычислений сведем в таблицу:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
xi | 0,1 | 0,476 | 0,409 | 0,419 | 0,417 |
φ(xi) | 0,476 | 0,409 | 0,419 | 0,417 | 0,418 |
f(xi) | -7,9 | 0,343 | -0,057 | 0,01 | -0,003 |

Согласно методу простой итерации: x*=0,417.
Метод Ньютона.
f'x=arctgx-1x+2=1x2+1+1x2
f''x=2xx2+12-2x3
f0,1=-7,9;f''0,1=-0,002f0,1*f''0,1>0=>x=0,1.
Итерационная формула примет вид: xi+1=xi-arctgxi-1xi+21xi2+1+1xi2 .
Результаты вычисления представим в виде таблице:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
xi | 0,1 | 0,178 | 0,284 | 0,377 | 0,414 | 0,417 | 0,417 |
f(xi) | -7,9 | -3,442 | -1,244 | -0,292 | -0,023 | -0,003 | |
f'(xi) | 100,99 | 32,531 | 13,324 | 7,911 | 6,688 | 6,603 | |

Согласно методу Ньютона x*=0,417.3. Решить систему методом Гаусса, методом простой итерации.
Метод Гаусса
А=20512210-3-1220, В=-13320.
Умножим 2-ую строку на (-10). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-9542210-3-1220 -43320
Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-954201437-1220 -434320
Умножим 1-ую строку на (14). Умножим 2-ую строку на (95). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00410301437-1220 34834320
x3=34834103 ;x2=43-37*x314 ; x1=20-(2*x2+20*x3)(-1)
x3=0,85; x2=43-37*0,8514=0,83; x1=20-2*0,83-20*0,85-1=-1,37
Ответ: x1=-1,37; x2=0,83; x3=0,85.
Метод простой итерации.
Имеем СЛАУ Аx=b (1)
Предполагая, что aii≠0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2, …, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1-α12x2-α13x3-…-α1nxn
x2=β2-α21x1-α23x3-…-α2nxnxn=βn-αn1xn-αn3x3-…-αnn-1xn-1,
где βi=biaii; αij=aijaii при i≠j; αii=0.
Система (2) в матричной форме имеет вид:
x=β-αx
Систему будем решать методом последовательных приближений.
Пусть x0=β, тогда: x1=b-ax0; x2=b-ax1;…; xk+1=b-axk.
Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, позволяющий всегда получать сходящийся процесс. Помножим (1) слева на
AT:ATAx=ATb или Cx=d 2, гдеC=ATA;d=ATb.
Систему (2) принято называть нормальной(Такая система получается при использовании МНК).
Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
1) матрица С – симметрическая;
2) все элементы главной диагонали cij>0;
3) матрица С – положительно определена.
Умножаем матрицы ATA.
ATA=4051182141181297021470553
Умножаем матрицы ATb.
ATb=-2745235
Приведем к...