Контрольная работа по ЭММ вариант 8

Задача 1

1.8. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приве-дены в таблице:

Питательное вещество (витамин) Необходимыйминимум пи-тательных ве-ществ Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
I II
S1
S2
S3 9
8
12 3
1
1 1
2
6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стои-мость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Построить экономико-математическую модель задачи, датьнеоб-ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Введем необходимые обозначения.
Пусть:
х1 – количество корма первого вида подлежащего включению в днев-ной рацион (кг),
х2 - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг).
Таким образом дневнойрацион представляет собой вектор Х (х1;х2).
В данной задаче критерий оптимальности – минимум затрат на днев-ной рацион.
С учетом введенных обозначений ЭММ задачи имеет вид:
min f (х1,; х 2, ) = 4х1 + 6х2
3х1 + х2 ≥ 9 – ограничение по содержанию питательного вещества S1
х1 + 2х2 ≥ 8 – ограничение по содержанию питательного вещества S2
х1 + 6х2 ≥ 12 – ограничение по содержанию питательноговещества S3
х1 ≥ 0; х2 ≥ 0 – прямые ограничения
2. Приведенная задача линейного программирования (ЗЛП) – задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.
2.1. Построим область определения этой задачи (ОДР). Прямые огра-ничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямо-угольной системы координат.
Функциональные ограничения неравенства определяютобласть, яв-ляющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
I 3х1 + х2 = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)
II х1 + 2х2 = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)
III х1 + 6х2 = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)
Представим ОДР на рисунке:
























Пересечение указанных выше полуплоскостей в первой четверти сис-темы координатпредставляет собой область с вершинами АВСD – заштри-хованную область на рисунке.
2.2. Для определения направления движения к оптимуму построим век-тор-градиент, координаты которого являются частными производными целе-вой функции. Соединим его вершину с началом координат О (0; 0). При минимизации целевой функции необходимо двигаться в противополож-ном направлении вектора-градиента.
2.3. Построим некоторуюлинию уровня: 4х1 + 6х2 = а.
Положим, например, а=0. Линии уровня 4х1 + 6х2 = 0 отвечает прямая ОХ (всегда перпендикулярная вектору градиенту).
2.4. При минимизации целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в противоположном направлении вектора-градиента. Пре-дельной точкой при таком движении является точка В и точка О. Для опре-деления координат точки В необходимо решить системууравнений:
3х1 + х2 = 9
х1 + 2х2 = 8
Решением этой системы являются следующие значения переменных:
х1 = 2, х2 = 3
Соответственно минимальное значение ЦФ равно:
min f (х1; х2) = 4*2 + 6*3 = 26

Вывод: В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.

Задача на максимум не разрешима, т.к. не существуетконечного макси-мума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неог-раниченности целевой функции на ОДР).
















Задача 2

2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается зада-ча оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализа-ции готовой продукции.


Тип сырья

Нормы...