Математические основы технических систем

Цель лабораторной работы освоить на практике методы решения уравнений состояния.
Уравнения состояния заданы в виде:
,
где – вектор - столбец переменных состояний;
– скалярное входноевоздействие (вынуждающая функция);
– скалярный выход системы;
– основная матрица системы;
– матрица-столбец связи вынуждающей функции (входа) с переменными состояния;
– матрица-строка связи переменных состояния свыходом системы.

Задание
1. Найти собственные числа и модальную матрицу, соответствующую матрице А.
2. С помощью метода Кэли-Гамильтона найти переходную матрицу, соответствующую заданной матрице А.
3.Определить переходную матрицу, используя теорему разложения Сильвестра.
4. Вычислить переходную матрицу с применением преобразования Лапласа.
5. Решить уравнение состояния, то есть найти вектор состояния x(t) ивыход системы y(t) по полученной переходной матрице, заданному входному воздействию u(t) и вектору начального состояния x(0).

Вариант № 7

Составляем характеристическую матрицу:

Определяемхарактеристический многочлен:

Решаем характеристическое уравнение:

Собственные числа матрицы :
Определяем собственные вектора матрицы :

Для :

Для :

Собственные векторы матрицы неоднозначны, и модальная матрица,составленная из собственных векторов не имеет однозначного вида. Как один из вариантов модальной матрицы:
.
Так же, как вариант, может быть принята нулевая модальная матрица:
.
Определение переходнойматрицы методом Кэли-Гамильтона.
.
Корни характеристического уравнения определены ранее:
Поскольку матрица второго порядка, то многочлен - первого порядка:
. После подстановки корней характеристическогоуравнения получаем систему из двух уравнений:

Из последней системы получаем:

Таким образом, переходная матрица:

Определение переходной матрицы методом Сильвестра.

Корни характеристического уравнения определеныранее:


Переходная матрица методом Лапласа.
.

Решение уравнения состояния.

Решение уравнения состояния в общем виде:

Поскольку переходная функция...