Математический метод

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Множества
Понятие множества относится к числу простейших и в то же время фундаментальных понятий математики. Это понятие является неопределимым его нельзя свести к каким-то более простым математическим объектам, но можно пояснить с помощью наглядных примеров. Множества это совокупности каких-то объектов произвольной природы, и эти объекты называются элементами того илииного множества. Тот факт, что какой-то объект e является элементом множества E, записывается в виде e ∈ E или E ∋ e и выражается словами e принадлежит (множеству) E, или (множество) E содержит (элемент) e, или e является элементом (множества) E. Если хотят сказать, что e не является элементом множества E, то пишут ¯ ¯ (иногда также используется обозначения e∈E и E ∋e). Простейший способ описания множествасостоит в перечислении его элементов. Например, запись S = { ♠, ♣, ♦, ♥ } (1) определяет множество карточных мастей, и тот факт, что символ пик ♠ является мастью,мы можем записать в виде ♠ ∈ S, где S задано равенством (1). Другой способ задания множеств их словесное описание. Например, можно сказать: Рассмотрим множество студентов, поступивших в МГТУГА в 2003 году , или: Пусть X множество всехкамней, лежащих на обратной стороне Луны . Из этих двух примеров видно, что словесные описания не всегда позволяют точно понять, какое множество имеется в виду: если в первом случае можно перечислить все элементы (например, просмотрев списки поступивших студентов), то во втором случае это не так что есть камень, что называть обратной стороной да и как на эту сторону попасть? Чтобы избежать подобныхпроблем, в математике обычно используют более формальные способы описания множеств. Например, запись где N множество натуральных чисел1, определяет множество чётных чисел (конечно, если мы знаем, что такое натуральные числа). Ещё один пример: равенство определяет множество точек, лежащих на окружности единичного радиуса с центром в начале координат.
1Что такое натуральные и другие числа, нам ещёпредстоит выяснить

e ∈ E или E ∋ e /

N2 = { 2n | n ∈ N },

C = { (x, y) | x2 + y 2 = 1, x, y ∈ R }

см. § 3 и § 4. Пока же будем исходить

из наивного, школьного представления о них.
1

2

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

(то есть множество натуральных чисел, квадрат которых равен −1) является пустым. Пустое множество обозначается через ∅. Пусть E и E ′ множества. Множество E ′ называется подмножествоммножества E, если ′ является элементом множества E. В этом случае используются обозначения любой элемент из E E ′ ⊂ E или E ⊃ E ′ . Из определения следует что любое множество является своим подмножеством, а также пустое множество является подмножеством любого множества, то есть Говорят также, что E содержит E ′ в качестве подмножества, или E ′ содержится в E. Имеет место простой и очень важный факт.Предложение 1. Если E ⊂ E ′ и E ′ ⊂ E, то E = E ′ . Замечание 1. Если множество E ′ является подмножеством множества E, то его называют собственным подмножеством. Иногда (особенно в старой литературе) символы ⊂ и ⊃ используют для обозначения собственных подмножеств, а когда хотят подчеркнуть, что подмножество может совпадать со всем множеством, пользуются обозначениями ⊆ и ⊇ . Множество подмножеств. Пусть Eнекоторое множество. Тогда можно рассмотреть множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества E. Оно обозначается через 2E . Например, для множества S, заданного равенством (1), множество 2S состоит из2
0 S0 = ∅, 1 2 3 4 S1 = {♠}, S1 = {♣}, S1 = {♦}, S1 = {♥},

Среди всевозможных множеств, изучаемых в математике, есть одно особое. Оно называется пустым и не содержит ни одногоэлемента. Пустое множество можно описывать разными способами. Например, множество { x ∈ N | n2 + 1 = 0 }

E ⊂ E,

∅ ⊂ E.

1 2 3 4 S3 = {♠, ♣, ♦}, S3 = {♠, ♣, ♥}, S3 = {♠, ♦, ♥}, S3 = {♣, ♦, ♥}, 1 S4 = {♠, ♣, ♦, ♥}.

1 2 3 4 5 6 S2 = {♠, ♣}, S2 = {♠, ♦}, S2 = {♠, ♥}, S2 = {♣, ♦}, S2 = {♣, ♥}, S2 = {♦, ♥},

Вообще, если множество E содержит n...