Матем

  • 14 сент. 2011 г.
  • 1687 Слова
Федеральное государственное образовательное учреждение среднего
профессионального образования
«Астраханский колледж вычислительной техники»

Контрольная работа №2

для студентов 1 курса

специальностей:

230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»,

230101» Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»,
220301 «Автоматизациятехнологических процессов и производств нефтяной и газовой промышленности»,
140613 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования».

2009

Содержание

Решение варианта №0 3
Контрольная работа №2 7
Справочный материал 14
Перечень литературы 19

Решение варианта №0

Пример 1. Вычислить [pic]
Решение. [pic] так как [pic]Ответ: [pic]
Пример 2. Вычислить [pic]
Решение. [pic], так как [pic]
Ответ: [pic]

Пример 3. Решить уравнение [pic]
Решение. Введем новую переменную y = sin x, где [pic]. Тогда данное уравнение можно записать в виде [pic]. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями являются [pic] Следовательно, [pic] В первом случае получим решения
[pic]
Во втором случае имеем:[pic]
Ответ:[pic] [pic]
Пример 4. Решить уравнение 3 cos2 x – 5 cos x – 2 = 0.
Решение. Это уравнение является квадратным относительно cos x.
Обозначив cos x = t, где [pic] получим
3t2 – 5t – 2 = 0
[pic] ; [pic].
Уравнение cos x =2 не имеет корней, так как 2[pic][-1; 1].
Уравнение cos x = - 1/3 имеет корни
x = ± arccos (-1/3) + 2 Пn, n[pic]Z,
x= ±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n[pic] Z.
 Ответ:  x =±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n[pic] Z.

Пример 5. Решим уравнение [pic]:
Решение. Уравнение данного вида называется однородным тригонометрическим уравнением. Значения х, при которых cos x = 0, не является решением данного уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполняться равенство [pic], а косинус и синус не могут бытьодновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на [pic] и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению [pic].
Вводим новую переменную [pic], получаем
[pic] откуда t=1 или t= 1/3.
Следовательно, tgx = 1 или tgx = 1/3.
Решая простейшие т тригонометрические уравнения получаем корни
[pic]
Ответ: [pic]

Пример 6. Решить уравнение 3 sinx – 5 cos x = 0.
Решение.  Уравнение данного вида относится к однородным уравнениям первой степени. Разделим обе части уравнение на cos x(cos x[pic]0, иначе и sin x был бы равен 0, что  невозможно, так как cos2 x + sin2 x =1). Получив уравнение, равносильное данному:
3 tg x – 5 = 0, tg x = 5/3 .
Корни этого уравнения x = arctg 5/3 + Пn, n[pic]Z.
Ответ: x = arctg 5/3 +Пn, n[pic] Z.

Пример 7. Решить уравнение sin x cos 2x – 1 + sin x – 2cos 2x = 0
Решение.  Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:
2 cos 2x (sin x – 1) + (sin x –1) = (sin x – 1)(2 cos 2x + 1).
Уравнение (sin x – 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений
[pic]
Решив полученные уравнения, получаем:a)      sin x – 1 = 0, sin x = 1, x = П/2 + 2 Пn, n[pic]Z;
б)   2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = ± 2П/3 + 2Пn, n[pic]Z.
 Ответ: x = П/2 + 2Пn, n[pic]Z.
Пример 8. Решить уравнение [pic]
Решение. Это однородное уравнение, но делить на [pic]нельзя, так как [pic] может быть равным 0. Запишем уравнение иначе: [pic]. Отсюда получаем два уравнения [pic].
Второе уравнение из двухполученных будет являться однородным уравнением первой степени. Разделим его на [pic].
Получим
[pic] ( [pic]
Ответ: [pic][pic]

Пример 9. Решить уравнение [pic]
Решение. Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами сложения: [pic]
Получаем
[pic].
Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Частный...
tracking img