Методы линеаризации

  • 01 июня 2013 г.
  • 989 Слова
Содержание

1.Понятие линеаризации
2.Линеаризация элементарных функций
3.Гармоническая линеаризация
Список литературы

1.Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методовприближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеютограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов,причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойстванелинейной системы.

2.Линеаризация элементарных функций
Рассмотрим функции y = sin x и y = x в окрестности точки x = 0. Увеличивая масштаб графика, можно убедиться, что sin x ≈ x при x → 0. Более точноеприближение дает  при x → 0. Добавляя в эту формулу все более и более высокие степени x с определенными коэффициентами, мы будет получать все более и более точное представление функции sin x многочленом. Такоймногочлен называют многочленом Тейлора.
|
|
График 1Функции y = x3 – 3x и y = –3x2 – 6x – 1 очень «похожи» в окрестности точки x = –1. |
В общем случае функция f (x) представляется в бесконечномалой окрестности точки x0 многочленом Тейлора, задаваемым формулой 
|
где o ((x – x0)n) – бесконечно малая относительно (x – x0)n функция. Естественно, данная формула справедлива, если вточке x0 существуют производные функции fвплоть до f (n). Напомним, что операция факториал определяется следующим образом: 
n! = 1 · 2 · 3 ·…· (n – 1)  · n, |

(2n)!! = 2 · 4 ·…· (2n – 2) · 2n, |(2n + 1)!! = 1 · 3 ·…· (2n – 1) · (2n + 1), |

0! = 1. |
В окрестности x = 0 формула Тейлора приобретает вид 
|

Эта формула называется формулой...
tracking img