§ 8. Элементы выпуклого анализа
8.1. Предварительные сведения
Определение 1. Отрезком, соединяющим точки [pic] и [pic] пространства [pic], называется множество
[pic].
Определение 2. Подмножество [pic] пространства [pic] называется выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит соединяющий их отрезок. Пустое множество считается выпуклым по определению.Примеры выпуклых множеств: подпространства и линейные многообразия, треугольники и круги на плоскости, тетраэдры и шары в трехмерном пространстве, единичный шар в банаховом пространстве и т.п.
Определение 3. Множество [pic] называется конусом, если из того, что [pic] следует, что [pic] при всяком [pic].
Предложение 1. Конус [pic] будет выпуклым тогда и только тогда, когда из того, что [pic]и [pic] будет следовать, что [pic].
Доказательство. Если [pic] – выпуклый конус, то из того, что [pic] и [pic] следует, что [pic] (по определению выпуклого множества) и [pic] (по определению конуса). Наоборот, если конус [pic] содержит суммы своих элементов, то [pic] [pic], если только [pic] и [pic], [pic], что и требовалось доказать.
Важный пример выпуклого конуса в [pic] –неотрицательный октант:
[pic].
Напомним, что функциями мы называем отображения в расширенную вещественную прямую. С каждой функцией [pic], заданной на [pic], можно связать два множества
[pic],
[pic].
Первое из них называется эффективным множеством функции [pic], а второе – ее надграфиком.
Определение 4. Функция [pic] называется собственной, если [pic] и [pic] для всех[pic]. Функции, не являющиеся собственными, называются несобственными.
Определение 5. Функция [pic] называется выпуклой, если множество [pic] выпукло в пространстве [pic].
Определение 6. Функция [pic] ([pic]) называется выпуклой однородной, или сублинейной, если надграфик [pic] есть выпуклый конус. Другими словами, можно сказать так: функция [pic] сублинейна, если [pic] и [pic] [pic].Из определения выпуклого множества сразу следует, что собственная функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Иенсена:
[pic].
Примеры выпуклых функций одного переменного: экспоненты [pic], степенные функции [pic]. Норма в любом нормированном пространстве – пример сублинейной функции.
Другими примерами выпуклых функций являются:
1) индикаторная функциявыпуклого множества [pic]
[pic];
2) опорная функция множества [pic]
[pic].
Замечание 1. Норма в банаховом пространстве есть опорная функция единичного шара сопряженного пространства.
Определение 7. Пусть [pic] – выпуклая собственная функция на [pic]. Функционал [pic] называется субградиентом функции [pic] в точке [pic], если [pic] для всех [pic].
Определение 8. Множествовсех субградиентов функции [pic] в точке [pic] называется субдифференциалом функции [pic] в точке [pic] и обозначается [pic], то есть [pic].
Замечание 2. Роль субдифференциалов в выпуклом анализе подобна роли производных в классическом анализе. Если функция [pic] дифференцируема по Гато в некоторой точке, то можно показать, что ее субдифференциал в этой точке содержит единственный элемент –производную Гато.
Предложение 2. Если [pic] – банахово пространство, то субдифференциал его нормы в нуле совпадает с замкнутым единичным шаром сопряженного пространства. Если же [pic], то [pic] [pic].
Субдифференциал индикаторной функции [pic] не пуст в любой точке [pic], так как если [pic], то [pic]. Вообще же, по определению
[pic].
Очевидно, что [pic] – это конус. Он называетсяконусом опорных функционалов, или нормальным конусом множества [pic] в точке [pic] и обозначается [pic].
Теорема 1 (Моро – Рокафеллара). Пусть [pic] и [pic] – выпуклые собственные функции на [pic]. Тогда
[pic].
Если же одна из функций непрерывна в некоторой точке, принадлежащей эффективному множеству другой функции, то
[pic].
(Доказательство см. А.Д. Иоффе, В.М....
8.1. Предварительные сведения
Определение 1. Отрезком, соединяющим точки [pic] и [pic] пространства [pic], называется множество
[pic].
Определение 2. Подмножество [pic] пространства [pic] называется выпуклым, если оно вместе с каждой парой своих точек содержит соединяющий их отрезок. Пустое множество считается выпуклым по определению.Примеры выпуклых множеств: подпространства и линейные многообразия, треугольники и круги на плоскости, тетраэдры и шары в трехмерном пространстве, единичный шар в банаховом пространстве и т.п.
Определение 3. Множество [pic] называется конусом, если из того, что [pic] следует, что [pic] при всяком [pic].
Предложение 1. Конус [pic] будет выпуклым тогда и только тогда, когда из того, что [pic]и [pic] будет следовать, что [pic].
Доказательство. Если [pic] – выпуклый конус, то из того, что [pic] и [pic] следует, что [pic] (по определению выпуклого множества) и [pic] (по определению конуса). Наоборот, если конус [pic] содержит суммы своих элементов, то [pic] [pic], если только [pic] и [pic], [pic], что и требовалось доказать.
Важный пример выпуклого конуса в [pic] –неотрицательный октант:
[pic].
Напомним, что функциями мы называем отображения в расширенную вещественную прямую. С каждой функцией [pic], заданной на [pic], можно связать два множества
[pic],
[pic].
Первое из них называется эффективным множеством функции [pic], а второе – ее надграфиком.
Определение 4. Функция [pic] называется собственной, если [pic] и [pic] для всех[pic]. Функции, не являющиеся собственными, называются несобственными.
Определение 5. Функция [pic] называется выпуклой, если множество [pic] выпукло в пространстве [pic].
Определение 6. Функция [pic] ([pic]) называется выпуклой однородной, или сублинейной, если надграфик [pic] есть выпуклый конус. Другими словами, можно сказать так: функция [pic] сублинейна, если [pic] и [pic] [pic].Из определения выпуклого множества сразу следует, что собственная функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Иенсена:
[pic].
Примеры выпуклых функций одного переменного: экспоненты [pic], степенные функции [pic]. Норма в любом нормированном пространстве – пример сублинейной функции.
Другими примерами выпуклых функций являются:
1) индикаторная функциявыпуклого множества [pic]
[pic];
2) опорная функция множества [pic]
[pic].
Замечание 1. Норма в банаховом пространстве есть опорная функция единичного шара сопряженного пространства.
Определение 7. Пусть [pic] – выпуклая собственная функция на [pic]. Функционал [pic] называется субградиентом функции [pic] в точке [pic], если [pic] для всех [pic].
Определение 8. Множествовсех субградиентов функции [pic] в точке [pic] называется субдифференциалом функции [pic] в точке [pic] и обозначается [pic], то есть [pic].
Замечание 2. Роль субдифференциалов в выпуклом анализе подобна роли производных в классическом анализе. Если функция [pic] дифференцируема по Гато в некоторой точке, то можно показать, что ее субдифференциал в этой точке содержит единственный элемент –производную Гато.
Предложение 2. Если [pic] – банахово пространство, то субдифференциал его нормы в нуле совпадает с замкнутым единичным шаром сопряженного пространства. Если же [pic], то [pic] [pic].
Субдифференциал индикаторной функции [pic] не пуст в любой точке [pic], так как если [pic], то [pic]. Вообще же, по определению
[pic].
Очевидно, что [pic] – это конус. Он называетсяконусом опорных функционалов, или нормальным конусом множества [pic] в точке [pic] и обозначается [pic].
Теорема 1 (Моро – Рокафеллара). Пусть [pic] и [pic] – выпуклые собственные функции на [pic]. Тогда
[pic].
Если же одна из функций непрерывна в некоторой точке, принадлежащей эффективному множеству другой функции, то
[pic].
(Доказательство см. А.Д. Иоффе, В.М....
Поделиться рефератом
Расскажи своим однокурсникам об этом материале и вообще о СкачатьРеферат